Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Démontrer que deux droites sont parallèles

Méthode 1

En utilisant une troisième droite

Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.

On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

-

Montrer que (EH)//(BC).

Etape 1

Trouver une droite parallèle aux deux droites

On veut montrer que d1//d2. On détermine une droite Δ telle que d1//Δ et d2//Δ.

  • La face EFGH est un rectangle, donc (EH)//(FG).
  • La face FGCB est un rectangle, donc (FG)//(BC).

Ainsi, (EH) et (BC) sont toutes deux parallèles à (FG).

Etape 2

Conclure

On en conclut que d1//d2.

(EH) et (BC) sont parallèles à une même droite. Donc (EH)//(BC).

Méthode 2

En montrant qu'elles sont coplanaires et non sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement elles sont coplanaires et n'ont pas de point d'intersection.

On considère une pyramide à base carrée ABCDS. On note S son sommet. Soit I, le milieu de [AS] et J, le milieu de [BS].

Montrer que (AB)//(IJ).

Etape 1

Montrer que les droites sont coplanaires

On montre d'abord que les droites d1 et d2 sont coplanaires.

On réalise une figure.

-

I(AS) et J(SB) donc la droite (IJ) appartient au plan (ASB).

De plus, (AB) appartient au plan (ASB).

Donc (IJ) et (AB) sont coplanaires.

Etape 2

Montrer qu'elles n'ont pas de point d'intersection

On montre ensuite qu'elles n'ont pas de point d'intersection : elles sont donc parallèles.

Dans le triangle ABS, on a I, milieu de [AS] et J, milieu de [BS].

Donc, d'après le théorème des milieux, on obtient :

(AB)//(IJ)

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