Seconde 2015-2016

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Déterminer l'intersection de deux plans de l'espace

Deux plans peuvent être strictement parallèles (dans ce cas leur intersection est vide), confondus (dans ce cas, leur intersection est un plan) ou sécants (dans ce cas leur intersection est une droite).

On considère une pyramide ABCDS, à base carrée, de sommet S. On appelle E le milieu (et point d'intersection) des diagonales de la base de cette pyramide.

Déterminer l'intersection des plans \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\).

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Etape 1

Déterminer un point appartenant aux deux plans

Si possible, on détermine un point A appartenant aux deux plans.

Si on ne peut pas trouver un tel point, alors les deux plans sont strictement parallèles.

  • E est le milieu de \(\displaystyle{\left[ AC \right]}\), donc \(\displaystyle{E \in \left(AC\right)}\) et par conséquent \(\displaystyle{E \in \left(SAC\right)}\).
  • E est le milieu de \(\displaystyle{\left[ BD\right]}\), donc \(\displaystyle{E \in \left(BD\right)}\) et par conséquent \(\displaystyle{E \in \left(SBD\right)}\).

On en déduit que le point E appartient aux deux plans \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\).

Etape 2

Déterminer un autre point appartenant aux deux plans

S'il existe un point d'intersection entre ces deux plans, il existe au moins un deuxième point B d'intersection. On en détermine un.

Les plans \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\) passent par le point S.

Donc \(\displaystyle{S \in \left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{S \in \left(SBD\right)}\).

On en déduit que le point S appartient aux deux plans \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\).

Etape 3

Conclure

Deux cas sont possibles :

  • Les deux plans sont confondus, tout point du premier plan appartient donc au second plan et inversement.
  • Les deux plans sont sécants, leurs points d'intersection décrivent donc la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\).

Le point B appartient au plan \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\) mais pas au plan \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\), les deux plans ne sont donc pas confondus.

On en déduit que l'intersection des plans \(\displaystyle{\left(SAC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(SBD\right)}\) est la droite \(\displaystyle{\left(ES\right)}\).