Le cercle trigonométrique
Cercle trigonométrique
Un cercle de centre O et de rayon 1, dont le sens de parcours est le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.
La longueur d'un cercle trigonométrique est 2\pi.
Lien entre droite des réels et cercle trigonométrique
Point image d'un réel sur le cercle trigonométrique
Dans le repère orthonormé (O; I, J), on note \mathscr C le cercle trigonométrique et A le point de coordonnées \left(1;1\right).
On munit la tangente au cercle \mathscr C en A du repère (I;A).
À chaque réel x de cette droite est associé un unique point M sur le cercle trigonométrique obtenu par "enroulement" de la droite des réels sur le cercle.
La partie de la droite comportant les réels positifs est "enroulée" dans le sens direct et la partie de la droite comportant les réels négatifs est "enroulée" dans le sens indirect.
On dit que le point M est le point image du réel x, ou que le réel x et le point M sont associés.
- Si x est un réel positif, alors \overset{\frown}{IM}=x.
- Si x est un réel négatif, alors \overset{\frown}{IM}=-x.
Le point M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique.
- Le point I' est associé au réel \pi
- Le point I est associé au réel 0
- Le point J est associé au réel \dfrac{\pi}{2}
- Le point J' est associé au réel \dfrac{3\pi}{2}
Si x et x' sont des nombres réels tels que x'-x=k\times 2\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors ils ont le même point image sur le cercle trigonométrique.
Si M est le point du cercle trigonométrique associé à un réel x, alors il est également associé à tous les réels du type x+2k\pi, où k\in\mathbb{Z}.
- Le point I' est associé au réel -\pi.
- Le point I est associé au réel 2\pi.
- Le point J est associé au réel \dfrac{-3\pi}{2}.
- Le point J' est associé au réel \dfrac{-\pi}{2}.
- Les réels \dfrac{\pi}{3} et \dfrac{7\pi}{3} sont associés au même point du cercle car \dfrac{7\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=k\times 2\pi avec k=1.
Le cosinus et le sinus
Définitions
Soit B le point du cercle trigonométrique tel que l'arc \overset{\frown}{AB} parcouru de A vers B dans le sens direct a pour longueur \dfrac{\pi}{2}. Le repère \left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right) est orthonormal.
À un réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique.
- Le cosinus de x, noté \cos\left(x\right), est l'abscisse de M dans le repère \left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right).
- Le sinus de x, noté \sin\left(x\right), est l'ordonnée de M dans le repère \left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right).
On a :
- \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0
- \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1
Les valeurs remarquables de cos et sin
| x | 0 | \dfrac{\pi }{6} | \dfrac{\pi }{4} | \dfrac{\pi }{3} | \dfrac{\pi }{2} |
|---|---|---|---|---|---|
| \sin\left(x\right) | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
| \cos\left(x\right) | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 |
Cosinus et sinus de quelques réels associés
M est le point du cercle trigonométrique associé à un réel x. Alors M', N, N' et P sont respectivement associés aux réels \left(\pi+x\right), -x, \left(\pi-x\right) et \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right).
- \cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)
- \cos\left(\pi-x\right)=-\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(\pi-x\right)=\sin\left(x\right)
- \cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right)
- \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x\right)\text{ et }\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x\right)
- \cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}
- \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}
Propriétés des cosinus et des sinus
Pour tout réel x :
\cos^{2}\left(x\right) + \sin^{2}\left(x\right) = 1
cos^2\left(\pi\right)+sin^2\left(\pi\right)=\left(-1\right)^2+0^2=1
Pour tout réel x :
- 1 \leq \cos\left(x\right) \leq 1
- 1 \leq \sin\left(x\right) \leq 1
Pour tout réel x et tout entier k :
\cos\left(x + 2k\pi \right) = \cos\left(x\right)
\sin\left(x + 2k\pi \right) = \sin\left(x\right)
\cos \left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+2\times \pi\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\sin \left(\dfrac{13\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+2\times2\times \pi\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
cos^2\left(x\right) et sin^2\left(x\right) sont des notations signifiant \left(\cos\left(x\right)\right)^2 et \left(\sin\left(x\right)\right)^2.