Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Les inéquations

I

La résolution algébrique d'inéquations

A

Le signe de ax+b

Signe de ax+b

Soient a et b deux réels, avec a non nul.
Le signe de ax+b sur dépend du signe de a :

  • si a>0, ax+b est strictement négatif sur ];ba[ et strictement positif sur ]ba;+[ ;
  • si a<0, ax+b est strictement positif sur ];ba[ et strictement négatif sur ]ba;+[.

L'expression 3x12 est négative sur ];4] et positive sur [4;+[.

L'expression 2x18 est positive sur ];9] et négative sur [9;+[.

On peut représenter le signe d'une expression à l'aide d'un tableau de signes :

  • Un signe + signifie que l'expression est positive sur cet intervalle.
  • Un signe signifie que l'expression est négative sur cet intervalle.
Cas 1

Si a>0

-

Le tableau de signes de 3x12 est :

-
Cas 2

Si a<0

-

Le tableau de signes de 2x18 est :

-
B

Les tableaux de signes

On résout une inéquation ne pouvant se ramener à une inéquation du premier degré en passant tous les termes dans un membre, puis en factorisant (ou réduisant au même dénominateur) de manière à obtenir un produit (ou un quotient) dont on connaît le signe de chacun des facteurs.

Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d'une expression.

On détermine le signe d'un produit de facteurs ou d'un quotient à l'aide d'un tableau de signes, où chaque ligne détaille le signe d'un des facteurs. Le signe de l'expression globale se déduit colonne par colonne :

  • Si le nombre de signes d'une colonne est pair, l'expression globale est positive sur l'intervalle correspondant.
  • Si le nombre de signes d'une colonne est impair, l'expression globale est négative sur l'intervalle correspondant.

On se propose de résoudre dans l'inéquation suivante :

(3x12)2(2x+7)2

Pour tout réel x :

(3x12)2(2x+7)2

(3x12)2(2x+7)20

En reconnaissant l'identité remarquable a2b2=(a+b)(ab), valable pour tous les réels a et b :

(3x12)2(2x+7)20

[(3x12)+(2x+7)]×[(3x12)(2x+7)]0

(3x122x+7)(3x12+2x7)0

(x5)(5x19)0

Pour déterminer les solutions, on réalise un tableau de signes du produit.

-

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : S=[195;5].

II

La résolution graphique d'inéquations

A

f(x)>a

Solutions de f(x)>a

Soient une fonction f et un réel a.
Les solutions de l'inéquation f(x)>a sont les abscisses des éventuels points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est strictement supérieure à a.

On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation f(x)>a en relevant les abscisses (par intervalles) des points de la courbe représentative de f qui sont situés au-dessus de la droite d'équation y=a.

-

L'inéquation f(x)>2 admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2,13[.

De manière analogue, les solutions de l'inéquation f(x)<a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui sont situés en dessous de la droite d'équation y=a. Les solutions sont données sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

B

f(x)>g(x)

Solutions de f(x)>g(x)

Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'inéquation f(x)>g(x) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus du point de même abscisse de la courbe représentative de g.

-

L'inéquation f(x)>g(x) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2[.

C

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

La fonction f(x)=x2 définie sur , est positive sur . En effet, le carré d'un réel est toujours positif, quel que soit le réel.

Une fonction est positive sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [0;2]. La fonction représentée ci-dessus est donc positive sur l'intervalle [0;2].

Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

La fonction f(x)=x2 définie sur , est négative sur . En effet, l'opposé du carré d'un réel est toujours négatif, quel que soit le réel.

Une fonction est négative sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [0;2]. La fonction représentée ci-dessus est donc négative sur l'intervalle [0;2].

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