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La fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(x\right)}\).

  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) : \(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\).
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) strictement positif : \(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\).

Propriétés algébriques de la fonction \(\displaystyle{\ln}\)

Pour tous réels strictement positifs \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\), et tout entier relatif \(\displaystyle{n}\) :

  • \(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

Dérivées

Soit u une fonction dérivable strictement positive sur un intervalle I.

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac1x}\)
\(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\)

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