Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme pour transformer une expression Méthode

Sommaire

1Identifier les propriétés algébriques à utiliser 2Simplifier l'expression

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de la fonction logarithme.

Soit la fonction f définie pour tout x de \left] 2;+\infty\right[ par :

f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)

Grâce aux propriétés algébriques de la fonction logarithme, simplifier l'expression de f.

Etape 1

Identifier les propriétés algébriques à utiliser

On identifie les propriétés algébriques du logarithme à utiliser.

On remarque que l'expression de f comporte une puissance et une addition de deux logarithmes.

On en déduit que l'on utilise les propriétés algébriques suivantes :

  • Pour tout réel a\gt0 et tout entier relatif n, \ln \left(a^n\right) = n \ln\left(a\right)
  • Pour tous réels strictement positifs a et b, \ln\left(a\right) +\ln \left(b\right) = \ln \left(a\times b\right)
Etape 2

Simplifier l'expression

On utilise les propriétés algébriques identifiées afin de simplifier l'expression.

Soit x un réel de \left] 2;+\infty\right[ :

f\left(x\right)=\ln\left(\left(x+2\right)^2\right)+2\ln\left(x-2\right)

f\left(x\right)=2\ln\left(x+2\right)+2\ln\left(x-2\right)

f\left(x\right)=2\left(\ln\left(x+2\right)+\ln\left(x-2\right)\right)

f\left(x\right)=2\ln\left(\left(x+2\right)\left(x-2\right)\right)

On peut donc conclure :

f\left(x\right)=2\ln\left(x^2-4\right)