Quelle est la solution de l'équation suivante ?
x^2\ln\left(x-3\right) = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
x-3\gt 0
\Leftrightarrow x \gt 3
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 3; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
x^2\ln\left(x-3\right) = 0
\Leftrightarrow x^2 = 0 ou \ln\left(x-3\right) = 0
\Leftrightarrow x = 0 ou \ln\left(x-3\right) = \ln 1
\Leftrightarrow x = 0 ou x-3 = 1
\Leftrightarrow x = 0 ou x = 4
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] 3 ; +\infty \right[.
Or 4 \in \left] 3 ; +\infty \right[ mais 0 \notin \left] 3 ; +\infty \right[.
S = \left\{ 4 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\left(1+x\right)\ln\left(1+x\right) = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
1+x \gt 0
\Leftrightarrow x \gt -1
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -1 ; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\left(1+x\right)\ln\left(1+x\right) = 0
\Leftrightarrow 1+x = 0 ou \ln\left(1+x\right) = 0
\Leftrightarrow x = -1 ou \ln\left(1+x\right) = \ln 1
\Leftrightarrow x = -1 ou 1+x = 1
\Leftrightarrow x = -1 ou x = 0
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] -1 ; +\infty \right[.
Or 0 \in \left] -1 ; +\infty \right[ mais -1 \notin \left] -1 ; +\infty \right[.
S = \left\{ 0 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\left(lnx -2\right)\left(lnx+2\right) = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
x \gt 0
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 0 ; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\left(lnx -2\right)\left(lnx+2\right) = 0
\Leftrightarrow \ln x-2 = 0 ou lnx+2 = 0
\Leftrightarrow lnx = 2 ou \ln x= -2
\Leftrightarrow e^{lnx} = e^2 ou \Leftrightarrow e^{lnx} = e^{-2}
\Leftrightarrow x = e^2 ou x = e^{-2}
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] 0 ; +\infty \right[.
Or e^2 \in \left] 0 ; +\infty \right[ et e^{-2} \in \left] 0 ; +\infty \right[.
S = \left\{ e^{-2} ; e^2 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\left(\ln x\right)^2-1\gt 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
x \gt 0
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 0 ; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\left(\ln x\right)^2-1 \gt 0
\Leftrightarrow \left(\ln x\right)^2 \gt 1
\Leftrightarrow \ln x \gt 1 ou \Leftrightarrow \ln x \lt -1
\Leftrightarrow e^{lnx} \gt e^1 ou \Leftrightarrow e^{lnx} \lt e^{-1}
\Leftrightarrow x \gt e ou x \lt e^{-1}
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] 0 ; +\infty \right[.
Or e \in \left] 0 ; +\infty \right[ et e^{-1} \in \left] 0 ; +\infty \right[.
S = \left]0 ; e^{-1} \right[ \cup \left]e ; +\infty \right[
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
xln\left(3-x\right) +3\ln\left(3-x\right) = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
3-x \gt 0
\Leftrightarrow x \lt 3
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty ; 3\right[.
Résolution de l'équation
xln\left(3-x\right) +3\ln\left(3-x\right) = 0
\Leftrightarrow \ln\left(3-x\right) \left(x+3\right) = 0
\Leftrightarrow \ln \left(3-x\right) = 0 ou \Leftrightarrow 3+x = 0
\Leftrightarrow \ln\left(3-x\right) = \ln 1 ou \Leftrightarrow x = -3
\Leftrightarrow 3-x =1 ou \Leftrightarrow x = -3
\Leftrightarrow x = 2 ou \Leftrightarrow x = -3
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] -\infty ; 3\right[.
Or -3 \in \left] -\infty ; 3\right[ et 2 \in \left] -\infty ; 3\right[.
S = \left\{ -3 ; 2 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
2\ln\left(\sqrt{x+4}\right) +x^2\ln\left(x+4\right) = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
x+4 \gt 0
\Leftrightarrow x \gt -4
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -4; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
2\ln\left(\sqrt{x+4}\right) +x^2\ln\left(x+4\right) = 0
\Leftrightarrow \ln\left(\sqrt{x+4}^2\right) +x^2\ln\left(x+4\right) = 0
\Leftrightarrow \ln\left(x+4\right) +x^2\ln\left(x+4\right) = 0
\Leftrightarrow \left(x^2+1\right)\ln\left(x+4\right) = 0
\Leftrightarrow x^2+1 = 0 ou \Leftrightarrow \ln\left(x+4\right) = 0
Or un carré est toujours positif donc x^2+1 \gt 0.
\Leftrightarrow \ln\left(x+4\right) = 0
\Leftrightarrow \ln \left(x+4\right) = ln1
\Leftrightarrow x+4 = 1
\Leftrightarrow x = -3
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] -4; +\infty \right[.
Or -3 \in \left] -4 ;+\infty \right[.
S = \left\{ -3 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{lnx}{x} = 0
Domaine de définition
L'équation est définie si et seulement si :
x \gt 0
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 0; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\dfrac{lnx}{x} = 0
Or un quotient est nul si son numérateur est nul.
\Leftrightarrow \ln x = 0
\Leftrightarrow \ln x = \ln 1
\Leftrightarrow x=1
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'équation est définie sur \left] 0; +\infty \right[.
Or 1 \in \left] 0 ;+\infty \right[.
S = \left\{ 1 \right\}