La fonction logarithme népérienCours

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} et notée \ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :

\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}

Pour tout réel x strictement positif, \ln\left(x\right) est ainsi l'unique solution de l'équation e^y=x d'inconnue y.

  • Pour tout réel x, \ln\left(e^{x}\right) = x
  • Pour tout réel x strictement positif, e^{\ln\left(x\right)} = x
  • \ln\left(1\right) = 0
B

Le signe

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)

\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)

\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)

\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)= - \ln\left(4\right)

\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)

\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)

\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)

\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)

\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)

\ln\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(2\right)

II

Etude du logarithme népérien

A

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \mathbb{R}^{+*}. Pour tout réel x strictement positif :

\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}

Dérivée de \ln\left(u\right)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \ln\left(u\right) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}

Considérons la fonction définie et dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right).

On pose, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

  • u\left(x\right)=2x+1
  • u'\left(x\right)=2

On a f=\ln\left(u\right), donc f'=\dfrac{u'}{u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}.

-

La droite d’équation y = x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.

-

La fonction logarithme népérien est concave.

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

-