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Calculer un PGCD de deux nombres donnés en fonction d'une variable

Afin de calculer le PGCD de deux nombres exprimés en fonction de n, on supprime n dans un des termes, on cherche les diviseurs de l'entier obtenu puis on donne la valeur du PGCD en fonction de n.

Déterminer en fonction de n le PGCD de \(\displaystyle{3n-5}\) et de \(\displaystyle{n-1}\).

Etape 1

À l'aide d'une combinaison linéaire, éliminer n dans un des termes

D'après le cours, on a :

\(\displaystyle{PGCD \left(a;b\right) =PGCD \left(a-kb ; b\right)}\)k est un entier.

On utilise cette propriété afin d'éliminer les n dans un des deux termes.

Par combinaison linéaire :

\(\displaystyle{\left(3n-5\right) -3\times\left(n-1\right) = 3n-5-3n+3=-2}\)

Donc :

\(\displaystyle{PGCD \left(3n-5;n-1\right) =PGCD \left(3n-5 ; -2\right)=PGCD \left(3n-5 ; 2\right)}\)

Etape 2

Chercher les diviseurs de l'entier obtenu

On pose \(\displaystyle{d = PGCD \left(a;b\right)}\).

On sait que d divise l'entier déterminé à l'étape précédente.

On cherche tous les diviseurs de cet entier.

On pose :

\(\displaystyle{d = PGCD \left(3n-5;n-1\right) =PGCD \left(3n-5 ; 2\right)}\).

On sait ainsi que d divise 2.

On en déduit que \(\displaystyle{d=1 }\) ou \(\displaystyle{d=2}\).

Etape 3

Conclure selon les valeurs de n

Pour chacun des diviseurs de d, on détermine, à l'aide d'un tableau, la valeur du PGCD en fonction de n.

D'après le résultat précédent, les seules valeurs possibles pour d sont 1 et 2.

Or, d doit diviser \(\displaystyle{3n-5}\) et \(\displaystyle{n-1}\). On détermine alors la table des restes de la division euclidienne de \(\displaystyle{3n-5}\) et \(\displaystyle{n-1}\) par 2 en fonction des valeurs de n :

\(\displaystyle{n\equiv \left[2\right]}\) 0 1
\(\displaystyle{3n-5\equiv \left[2\right]}\) 1 0
\(\displaystyle{n-1\equiv \left[2\right]}\) 1 0

Donc 2 divise \(\displaystyle{3n-5 }\) et \(\displaystyle{n-1}\) si et seulement si \(\displaystyle{n\equiv 1\left[2\right]}\).

On en conclut :

  • Si n est impair : \(\displaystyle{PGCD \left(3n-5;n-1\right) =2}\)
  • Si n est pair : \(\displaystyle{PGCD \left(3n-5;n-1\right) =1}\)

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