Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Montrer l'égalité de deux PGCD

Il est possible de démontrer l'égalité de deux PGCD en utilisant les propriétés des PGCD.

Soient a et b deux entiers naturels. Démontrer que PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a;b).

Etape 1

Simplifier l'expression du PGCD à l'aide de combinaisons linéaires

D'après le cours, on sait que :

PGCD(a;b)=PGCD(a;k×a+k×b), avec k et k' des entiers relatifs.

On utilise cette propriété afin de simplifier l'expression du PGCD.

PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a+b;3a+4b3(a+b))

PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a+b;b)

PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a+bb;b)

PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a;b)

Etape 2

Conclure

On conclut en donnant l'égalité recherchée.

On conclut que l'on a bien :

PGCD(a+b;3a+4b)=PGCD(a;b)

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