Terminale S 2016-2017

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Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue

Afin de déterminer les solutions d'une équation diophantienne de type \(\displaystyle{ax+by = 1}\) (avec a, b, x et y des entiers relatifs) dont on connaît un couple solution particulier d'entiers relatifs \(\displaystyle{\left(c;d\right)}\), on injecte ce couple dans l'expression de l'équation puis on utilise le théorème de Gauss.

Sachant que le couple \(\displaystyle{\left(7;4\right)}\) est solution de l'équation, déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) solutions de l'équation :

\(\displaystyle{\left(E\right) : 19x-33y = 1}\)

Etape 1

Utiliser le couple solution pour en déduire une nouvelle équation

Si le couple \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) est solution de l'équation alors \(\displaystyle{ax+by = 1}\).

De même, le couple \(\displaystyle{\left(c;d\right)}\) est solution de l'équation alors \(\displaystyle{ac+bd = 1}\)

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

\(\displaystyle{ax-ac+by-bd = 1-1}\)

Soit :

\(\displaystyle{a\left(x-c\right)+b\left(y-d\right) =0}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right)}\)

Si le couple \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) est solution de l'équation alors \(\displaystyle{19x-33y = 1}\).

De même, le couple \(\displaystyle{\left(7;4\right)}\) est solution de l'équation alors \(\displaystyle{19\times 7 -33 \times 4= 1}\).

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

\(\displaystyle{19x- 19 \times 7-33y+33\times 4 = 0}\)

Soit :

\(\displaystyle{19\left(x-7\right)-33\left(y-4\right) =0}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right) }\)

Etape 2

Appliquer le théorème de Gauss

On suppose que le couple d'entiers \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\).

  • \(\displaystyle{a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\left(x-c\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d-y\right)}\) sont des entiers

Alors a divise \(\displaystyle{b\left(d-y\right)}\) et b divise \(\displaystyle{a\left(x-c\right)}\).

D'après le théorème de Gauss, on sait que :

Si u, v et w sont des entiers tels que u divise le produit \(\displaystyle{v w}\) et u est premier avec v alors u divise w.

On en déduit que :

Si a et b sont premiers entre eux, alors a divise \(\displaystyle{\left(d-y\right)}\) et b divise \(\displaystyle{\left(x-c\right)}\).

On suppose que le couple d'entiers \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\).

  • \(\displaystyle{19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right) }\)
  • \(\displaystyle{\left(x-7\right)}\) et \(\displaystyle{\left(y-4\right)}\) sont des entiers

Alors 19 divise \(\displaystyle{33\left(y-4\right)}\) et 33 divise \(\displaystyle{19\left(x-7\right)}\).

D'après le théorème de Gauss, on sait que :

Si u, v et w sont des entiers tels que u divise le produit \(\displaystyle{v w}\) et u est premier avec v alors u divise w.

On en déduit que :

Comme 19 et 33 sont premiers entre eux, alors 19 divise \(\displaystyle{\left(y-4\right)}\) et 33 divise \(\displaystyle{\left(x-7\right)}\).

Etape 3

En déduire l'expression des solutions x et y de \(\displaystyle{\left(E\right)}\)

On a :

a divise \(\displaystyle{\left(d-y\right)}\).

Donc il existe \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\) tel que :

\(\displaystyle{a\times k = d-y}\)

Ainsi, il existe \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\) tel que :

\(\displaystyle{y = d -a\times k}\)

On remplace ensuite l'expression de y dans l'équation \(\displaystyle{a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right)}\) afin de trouver l'expression de x.

19 divise \(\displaystyle{\left(y-4\right)}\)

Ainsi il existe un entier relatif k tel que \(\displaystyle{19k =y-4}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{y = 4+19k}\)

On remplace ensuite cette expression de y dans l'égalité suivante :

\(\displaystyle{19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right) }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 19\left(x-7\right)=33\left(4 +19k-4\right) }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 19\left(x-7\right)=33\times 19k}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x-7=33k}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x=7+33k}\)

On en déduit que si le couple \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\), alors il existe un entier k tel que \(\displaystyle{x = 7+33k}\) et \(\displaystyle{y = 4+19k}\).

Etape 4

Vérifier que la réciproque est vraie et conclure

On vérifie que les couples trouvés sont bien solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) en remplaçant dans l'équation.

On conclut en donnant les couples solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\).

Réciproquement, on vérifie que les couples \(\displaystyle{\left(7+33k;4+19k\right)}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), sont solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) en remplaçant dans l'équation :

\(\displaystyle{ 19\left(7+33k\right)-33\left(4+19k\right)= 133+19\times 33k -132-33\times 19k = 133-132 = 1}\)

Les couples \(\displaystyle{\left(7+33k;4+19k\right)}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), sont bien solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\).

On conclut que les couples solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) sont les couples de la forme \(\displaystyle{\left(7+33k;4+19k\right)}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).