Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Utiliser le théorème de Gauss

Afin de montrer qu'un nombre a exprimé en fonction de n est multiple d'un autre nombre noté b, on utilise le théorème de Gauss.

Démontrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

Etape 1

Décomposer le nombre b en produit de nombres premiers entre eux.

Si b n'est pas premier, on le décompose en produit de nombres premiers entre eux.

6 n'est pas premier. On écrit donc :

6=3×2.

2 et 3 sont bien des nombres premiers entre eux.

Etape 2

Démontrer que chaque facteur de b divise a

On montre que chaque facteur de b divise a.

n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2. Donc 2 divise n(n+1)(n+2) .

n(n+1)(n+2) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.

On en déduit que 2 et 3 divisent bien n(n+1)(n+2).

Etape 3

Appliquer le corollaire du théorème de Gauss

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.

Si un entier naturel a est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres. Comme 2 et 3 divisent n(n+1)(n+2), 2×3 divise n(n+1)(n+2).

Etape 4

Conclure

On en conclut que le nombre est divisible par le produit des facteurs déterminés ci-dessus.

On en conclut que n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

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