La continuité

La continuité sur un intervalle

Continuité d'une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. f est dite continue en a lorsque :

\(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\)

De plus, f est dite continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.

Considérons la fonction définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\)

On a :

\(\displaystyle{f\left(6\right)=2\times6+5=17}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 6}f\left(x\right)=17}\)

Donc la fonction f est continue en 6.

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur \(\displaystyle{I}\) sans lever le crayon.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels (\(\displaystyle{a \lt b}\)). On peut relier les points \(\displaystyle{A \left(a ; f\left(a\right)\right)}\) et \(\displaystyle{B \left(b ; f\left(b\right)\right)}\) sans lever le crayon, donc f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\).

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2.

Les fonctions usuelles (affines, polynomiales, inverse, exponentielle, logarithme, puissance,...) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), est continue sur \(\displaystyle{I}\).

Toute fonction dérivable sur \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). En revanche, la réciproque est fausse.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y=k}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\)

Soit f une fonction continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\) telle que :

\(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
\(\displaystyle{f\left(5\right)=3,5}\)

\(\displaystyle{3\in\left[0 ; 3,5\right]}\), donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe nécessairement au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = 3}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).

Sur le graphique ci-dessus, on remarque que la courbe représentative coupe trois fois la droite d'équation \(\displaystyle{y=3}\).

Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors \(\displaystyle{f}\) s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).