Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Le PGCD, les théorèmes de Bézout et de Gauss

I

PGCD de deux entiers et nombres premiers entre eux

PGCD(a;b)

Soient a et b deux entiers relatifs dont l'un au moins est non nul. L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément, que l'on appelle le plus grand diviseur commun à a et b et que l'on note :

PGCD(a;b)

L'ensemble des entiers naturels diviseurs communs à 24 et 36 est {1;2;3;4;6;12}. Donc :

PGCD(24;36)=12

Soient deux entiers relatifs a et b, avec a0.

  • PGCD(a;0)=a
  • PGCD(a;1)=1
  • PGCD(a;b)=PGCD(|a|;||b||)
  • Si b divise a, alors PGCD(a;b)=||b||

−3 divise 15, donc :

PGCD(15;3)=|3|=3

Algorithme d'Euclide

Soient deux entiers naturels non nuls a et b, avec b<a et r le reste de la division euclidienne de a par b. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est confondu avec celui des diviseurs communs à b et r.

Lorsque b ne divise pas a, en appliquant cette propriété jusqu'à obtention d'un reste nul, on obtient PGCD(a;b) comme étant le dernier reste non nul. Ce procédé est appelé algorithme d'Euclide.

Recherchons le PGCD des nombres 72 et 48.

72=48×1+24

48=24×2+0

Donc :

PGCD(72;48)=24

Soient deux entiers naturels non nuls a et b dont le PGCD est D. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est l'ensemble des diviseurs de D.

On a :

PGCD(72;48)=24

Donc l'ensemble des entiers naturels diviseurs communs à 72 et 48 est l'ensemble des diviseurs de 24, soit {1;2;3;4;6;8;12;24}.

Soient des entiers naturels non nuls a, b et k.

PGCD(ka;kb)=k×PGCD(a;b)

PGCD(72;48)=PGCD(2×36;2×24)=2×PGCD(36;24)

Nombres premiers entre eux

Deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si leur seul diviseur positif commun est 1, autrement dit si et seulement si PGCD(a;b)=1.

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

D est le PGCD de a et b si et seulement si aD et bD sont des entiers premiers entre eux.

II

Théorème de Bézout

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et D leur PGCD. Alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

ua+vb=D

Théorème de Bézout

D'après le théorème de Bézout, les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

ua+vb=1

On a :

5×2+(9)×1=1

5 et −9 sont donc premiers entre eux.

On a, pour tout entier relatif n :

n×(1)+(n+1)×1=1

Donc deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.

III

Théorème de Gauss

Théorème de Gauss

Soient a, b et c trois entiers non nuls. Alors :

Si c divise ab et c premier avec a, alors c divise b .

Soit x et y deux entiers tels que 15x=17y.

15 divise 17y. Or 15 et 17 sont premiers entre eux. Donc 15 divise y.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.