Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Calculer un PGCD de deux nombres donnés en fonction d'une variable

Afin de calculer le PGCD de deux nombres exprimés en fonction de n, on supprime n dans un des termes, on cherche les diviseurs de l'entier obtenu puis on donne la valeur du PGCD en fonction de n.

Déterminer en fonction de n le PGCD de 3n5 et de n1.

Etape 1

À l'aide d'une combinaison linéaire, éliminer n dans un des termes

D'après le cours, on a :

PGCD(a;b)=PGCD(akb;b)k est un entier.

On utilise cette propriété afin d'éliminer les n dans un des deux termes.

Par combinaison linéaire :

(3n5)3×(n1)=3n53n+3=2

Donc :

PGCD(3n5;n1)=PGCD(3n5;2)=PGCD(3n5;2)

Etape 2

Chercher les diviseurs de l'entier obtenu

On pose d=PGCD(a;b).

On sait que d divise l'entier déterminé à l'étape précédente.

On cherche tous les diviseurs de cet entier.

On pose :

d=PGCD(3n5;n1)=PGCD(3n5;2).

On sait ainsi que d divise 2.

On en déduit que d=1 ou d=2.

Etape 3

Conclure selon les valeurs de n

Pour chacun des diviseurs de d, on détermine, à l'aide d'un tableau, la valeur du PGCD en fonction de n.

D'après le résultat précédent, les seules valeurs possibles pour d sont 1 et 2.

Or, d doit diviser 3n5 et n1. On détermine alors la table des restes de la division euclidienne de 3n5 et n1 par 2 en fonction des valeurs de n :

n[2] 0 1
3n5[2]10
n1[2]10

Donc 2 divise 3n5 et n1 si et seulement si n1[2].

On en conclut :

  • Si n est impair : PGCD(3n5;n1)=2
  • Si n est pair : PGCD(3n5;n1)=1
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