Terminale S 2015-2016

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Utiliser le théorème de Gauss

Afin de montrer qu'un nombre a exprimé en fonction de n est multiple d'un autre nombre noté b, on utilise le théorème de Gauss.

Démontrer que \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) est divisible par 6.

Etape 1

Décomposer le nombre b en produit de nombres premiers entre eux.

Si b n'est pas premier, on le décompose en produit de nombres premiers entre eux.

6 n'est pas premier. On écrit donc :

\(\displaystyle{6=3\times2}\).

2 et 3 sont bien des nombres premiers entre eux.

Etape 2

Démontrer que chaque facteur de b divise a

On montre que chaque facteur de b divise a.

\(\displaystyle{n\left(n+1\right)}\) est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2. Donc 2 divise \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) .

\(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.

On en déduit que 2 et 3 divisent bien \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\).

Etape 3

Appliquer le corollaire du théorème de Gauss

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.

Si un entier naturel a est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres. Comme 2 et 3 divisent \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\), \(\displaystyle{2\times3}\) divise \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\).

Etape 4

Conclure

On en conclut que le nombre est divisible par le produit des facteurs déterminés ci-dessus.

On en conclut que \(\displaystyle{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) est divisible par 6.