La température d'un lac évolue en fonction de la profondeur à laquelle elle est mesurée.
Soit x la profondeur, en mètres, où la température est prise. x appartient à l'intervalle [0;15].
La fonction f associe à tout réel x appartenant à [0;15] la température de l'eau en °C.
On admet que f est une fonction affine.
La température de l'eau à la surface du lac est 20 °C. Cette température diminue de 0,7 °C par mètre de profondeur.
On pose x=0 la profondeur de l'eau à la surface.
Quelle est l'expression de la fonction f ?
La fonction f modélise la température du lac en °C en fonction de la profondeur x en mètres.
On sait que f est une fonction affine donc elle est de la forme f(x)=ax+b où a et b sont deux nombres réels.
D'une part, f(0)=b.
Or, on sait qu'à la surface la température de l'eau est 20 °C. Ainsi :
f(0)=20
On en déduit que :
b=20
D'autre part, on sait que la température de l'eau diminue de 0,7 °C par mètre de profondeur. Cela signifie que si la profondeur augmente d'un mètre, alors la température diminue de 0,7 °C. On en déduit que :
a=-0{,}7
En conclusion, pour tout réel positif x, l'expression de la fonction affine f est :
f(x)=-0{,}7x+20
On veut résoudre l'inéquation f(x)\leqslant 16.
Quelle est la solution de cette inéquation ?
On cherche à résoudre f(x)\leqslant 16.
On procède par inéquations équivalentes :
f(x)\leqslant16\Leftrightarrow-0{,}7x+20\leqslant16
f(x)\leqslant16\Leftrightarrow-0{,}7x\leqslant16-20
f(x)\leqslant16\Leftrightarrow-0{,}7x\leqslant -4
f(x)\leqslant16\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{-4}{-0{,}7}
f(x)\leqslant16\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{4}{0{,}7}
On peut écrire :
\dfrac{4}{0{,}7}=\dfrac{40}{7}
La solution de l'inéquation est : [\dfrac{40}{7} ; 15].
Les truites évoluent dans une eau qui ne dépasse pas 16 °C.
À quelles profondeurs un pêcheur pourra-t-il trouver des truites ?
Les truites évoluent à une température inférieure ou égale à 16 donc à des profondeurs x telles que f(x)\leqslant16.
Or, on sait que f(x)\leqslant16 est équivalent à x\in [\dfrac{40}{7} ; 15].
Avec la calculatrice, on a :
\dfrac{40}{7}\approx5{,}7
En conclusion, le pêcheur pourra trouver des truites en dessous de 6 mètres de profondeur.