La population d'un village a évolué durant ces dix dernières années, suivant le tableau suivant :
| Année | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Population | 950 | 962 | 974 | 986 | 998 | 1010 | 1022 | 1034 |
Comment caractériser l'évolution de la population de ce village ?
On étudie la variation absolue de la population d'une année sur l'autre.
On obtient les résultats suivants :
| Année | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Population | 950 | 962 | 974 | 986 | 998 | 1 010 | 1 022 | 1 034 |
| Variation absolue | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 |
On peut modéliser cette évolution comme une augmentation annuelle de 12 habitants.
On en déduit que la population évolue de manière linéaire.
Comment peut-on modéliser la population du village en fonction du nombre d'années écoulées à partir de 2014 ?
La population est étudiée en fonction du nombre d'années écoulées depuis 2014 : c'est donc un phénomène discret.
Or, on sait qu'un phénomène discret à croissance linéaire peut être modélisé par une suite arithmétique.
Ici, d'une année à la suivante, la population augmente de 12 habitants. On en déduit que la raison de la suite est 12.
La première année, en 2014, la population du village est de 950 habitants : le premier terme de la suite est 950.
On peut modéliser la population par la suite arithmétique u de raison 12 et de premier terme 950.
Quelle est la formule explicite vérifiée par la suite u ?
En 2014+n, le nombre d'habitants du village est égal au terme u_n, n-ième terme de la suite arithmétique u de raison 12 et de premier terme 950.
Or on sait que :
Si (u_{n}) est une suite arithmétique de raison r, définie pour n≥0, alors la formule explicite de (u_{n}) est :
Pour tout n∈\mathbb{N}, u_{n}=u_{0}+n \ r
Ainsi, la formule explicite vérifiée par (u_{n}) est :
u_{n}=u_{0}+12n, où u_{0}=950 est le nombre d'habitants en 2014.
Pour tout n∈\mathbb{N}, u_{n}=950+12n.
On admet que la population a suivi cette évolution.
Quel est alors le nombre d'habitants recensés en 2025 ?
On cherche le nombre d'habitants recensés en 2025 donc en 2014+11.
On calcule donc u_{11} :
u_{11}=950+12\times 11
u_{11}=1\ 082
Le nombre d'habitants recensés en 2025 est de 1 082.
On admet que la population continue de suivre cette évolution.
À compter de quelle année la population de ce village dépassera-t-elle 1 200 habitants ?
On cherche le plus entier naturel n tel que le nombre d'habitants recensés soit strictement supérieur à 1 200.
On résout donc :
u_{n} \gt 1\ 200
\Leftrightarrow950+12n \gt 1\ 200
\Leftrightarrow12n \gt 250
\Leftrightarrow n \gt \dfrac{250}{12}
Avec la calculatrice, on trouve \dfrac{250}{12}\approx20{,}8.
En conclusion, le plus petit entier n tel que u_{n} \gt 1\ 200 est 21.
L'année où la population du village dépassera 1 200 habitants est 2014+21.
L'année où la population du village dépassera 1 200 habitants est 2035.