Un cycliste professionnel se déplace sur une route nationale rectiligne. Sa vitesse est constante.
Un drone filme son déplacement. Au bout de 500 mètres, le chronomètre est enclenché, et le drone mesure la distance parcourue en fonction du temps.
Comment caractériser la variation de la distance parcourue par le cycliste ?
On sait que :
- l'évolution d'un phénomène est linéaire lorsqu'elle est proportionnelle à la durée ;
- l'évolution d'un phénomène est aléatoire lorsqu'elle n'est pas prévisible ;
- l'évolution d'un phénomène est exponentielle lorsque la variation relative entre deux instants consécutifs est constante.
Ici, la vitesse du cycliste est constante. On sait que, dans ce cas, la distance d est proportionnelle à la durée de parcours t.
On a :
d= v\times t
Si le temps t augmente d'une unité, alors la distance parcourue pendant cette unité de temps est :
d=v\times (t+1)=vt+v\times 1
La distance a donc augmenté de v \times 1 unités.
Cette augmentation est constante : l'évolution de la distance est proportionnelle à la durée.
La distance parcourue par le cycliste augmente donc de manière linéaire.
Le cycliste se déplace avec une vitesse constante de 400 mètres par minute.
Comment modéliser la distance totale parcourue par le cycliste, en mètres, en fonction du temps de parcours t en minutes ?
Le temps t en minutes prend toutes les valeurs positives : on en déduit que la variation de la distance parcourue en fonction de t est un phénomène continu.
Pour modéliser un phénomène continu à croissance linéaire, on utilise une fonction affine.
Cette fonction donne la distance parcourue en mètres, en fonction du temps en minutes.
Dès que le drone enregistre le déplacement, la distance en mètres parcourue par le cycliste en fonction du temps est :
d=v \times t
Comme la vitesse est de 400 m/min, on a :
d=400 \times t
Le chronomètre est enclenché au bout de 500 mètres.
Il faut donc ajouter à la distance enregistrée par le drone ces 500 premiers mètres.
La distance totale parcourue est donc :
500+400t
On peut donc modéliser la distance totale parcourue par la fonction affine g définie sur [0;+\infty[ par g(t) =500+400t.
Quelle sera la distance totale parcourue par le cycliste au bout de 1,5 h ?
Le temps étant exprimé en minutes dans la fonction déterminée, on convertit d'abord :
1{,}5 \text{ h} = 90 \text{ min}
Pour déterminer la distance totale parcourue au bout de 90 minutes sur la route, on calcule f(90).
g(90)=500+400\times 90 =36\ 500
Ainsi, au bout de 1,5 heure, la distance parcourue est 36 500 m, soit 36,5 km.
La distance totale parcourue au bout de 1,5 h est de 36,5 km.
On suppose que la portion de route rectiligne est longue de 50 km.
Quel est le temps enregistré par le drone quand le cycliste atteint le 50e kilomètre ?
On cherche le temps t tel que la distance parcourue par le cycliste soit 50 km.
50 \text{ km} = 50\ 000 \text{ m}
On résout donc g(t)=50\ 000.
g(t)=50\ 000\Leftrightarrow500+400t=50\ 000
\Leftrightarrow400t= 49\ 500
\Leftrightarrow t = \dfrac{49\ 500}{400}
\Leftrightarrow t=123{,}75
Ainsi le cycliste atteindra le 50e kilomètre lorsque le temps sera égal 123,75 minutes.
On convertit cette durée en heures et minutes :
123=2\times 60+3
On a donc 123 \text{ min} = 2 \text{ h } 03 \text{ min}.
On peut donc arrondir 123,75 minutes à 2 h 04 min.
Le temps enregistré par le drone lorsque le cycliste atteint le 50e kilomètre est donc 2 h 04 min.
Au moment où le cycliste s'élance, un groupe de ses amis s'est placé à plus de 15 kilomètres du départ.
Combien de temps devront-ils attendre au minimum pour le voir passer ?
On cherche à partir de quelle valeur du temps t tel que la distance parcourue par le cycliste est supérieure ou égale à 15 km.
15 \text{ km} = 15\ 000 \text{ m}
On résout donc g(t)\geqslant15\ 000.
g(t)\geqslant15\ 000\Leftrightarrow500+400t\geqslant15\ 000
\Leftrightarrow400t\geqslant14\ 500
\Leftrightarrow t \geqslant\dfrac{14\ 500}{400}
\Leftrightarrow t\geqslant36{,}25
Ainsi le groupe d'amis devra attendre au moins 36,25 minutes.
Or 0{,}25 \text{ min} = 15 \text{ s}.
On a donc 36{,}25 \text{ min} = 36 \text{ min } 15 \text{ s}.
Le groupe d'amis devra attendre au moins 36 min 15 s.