Le jour de son anniversaire en janvier 2020, Gisèle a ouvert un livret d'épargne pour son fils Louis et y a placé 500 €. À chaque date anniversaire, elle verse 75 € sur ce livret.
Soit n un entier naturel. En 2020+n, on note u_{n} la somme totale déposée par Gisèle depuis l'ouverture du livret.
Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite u ?
Chaque année, Gisèle verse 75 € sur le livret d'épargne.
Soit n un entier naturel.
La somme totale déposée par Gisèle en 2020+n est u_n.
La somme totale déposée par Gisèle en 2020+n+1, l'année suivante, est u_{n+1}.
On a donc la relation de récurrence :
u(n+1)=u(n)+75
Pour tout entier naturel n, u(n+1)=75+u(n).
On admet que la suite u est une suite arithmétique. Quelle est la relation vérifiée par u_{n} pour tout entier naturel n ?
u est une suite arithmétique.
Or on sait que si (u_{n}) est une suite arithmétique de raison r, définie pour n≥0, alors la définition explicite de (u_{n}) est :
Pour tout n \in\mathbb{N}, u_{n}=u_{0}+nr
Comme pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+75, la raison de la suite u est 75.
De plus, le premier versement de Gisèle, en 2020, est 500 € donc u_{0}=500.
Ainsi, pour tout n \in\mathbb{N} :
u_{n}=500+75n
Louis rêve de partir en voyage. Le budget nécessaire à ce départ est 1 350 €. À partir de quelle année le livret d'épargne contiendra-t-il suffisamment d'argent pour payer ce voyage ?
En 2020+n, le livret contient en euros u_{n}=500+75n.
On cherche l'année à partir de laquelle la somme disponible dépasse 1 350 €.
On cherche donc à trouver le plus petit entier naturel n tel que u_n\geqslant1\ 350.
On résout 500+75n\geqslant 1\ 350 :
500+75n \geqslant1\ 350 \\\Leftrightarrow75n\Leftrightarrow1\ 350-500\\\Leftrightarrow75n\geqslant850\\\Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{850}{75}\\
Avec la calculatrice, on trouve que \dfrac{850}{75}\approx11{,}3.
Le plus petit entier tel que u_n\geqslant1\ 350 est donc 12.
On en déduit que l'argent placé par Gisèle sera suffisant pour payer le voyage de Louis en 2020+12, c'est-à-dire en 2032.