Soit x \in \mathbb{R}.
Soit f une fonction croissante sur \mathbb{R}.
Quelle affirmation est vraie ?
Pour une fonction croissante (non nécessairement strictement croissante), les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents, mais il est possible que deux nombres différents aient la même image.
Ainsi, si x \lt 2, on a f(x) \leq f(2), mais pas forcément f(x) \lt f(2).
Soit x \in \mathbb{R}.
On suppose que x \lt -2.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont alors vraies ?
On applique aux deux membres la fonction affine d'expression f(x)=3x+5.
Cette fonction est croissante car le coefficient directeur, 3, est positif.
On ne change donc pas le sens de l'inégalité.
On peut également garder le « strict » car une fonction affine de coefficient directeur strictement positif est strictement croissante.
Ainsi, si x \lt -2, on a f(x)\lt f(-2), ce qui donne 3x+5 \lt -1.
Il est également juste d'écrire 3x+5 \leq -1 même si c'est moins précis, car si un nombre est strictement plus petit que -1, alors il est aussi inférieur ou égal à -1.
Soit x \in \mathbb{R}.
On suppose que 0 \lt 3x-7 \lt 7x+9.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont alors vraies ?
La fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0;+\infty \right[.
Or, nos deux nombres sont strictement positifs, ils se trouvent donc bien sur cet intervalle.
On peut donc écrire que les images sont dans le même ordre, en conservant l'inégalité stricte.
Soit x \in \mathbb{R}.
On suppose que 0 \leq 3x+2 \lt 5x-4.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont alors vraies ?
La fonction carré est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[.
Or, nos deux nombres sont positifs, ils se trouvent donc bien sur cet intervalle.
On peut donc écrire que les images sont dans le même ordre, en conservant l'inégalité stricte.
Soit x \in \mathbb{R} tel que 0 \lt x.
Soit f une fonction croissante sur \left [0;+\infty\right[.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont alors vraies ?
Pour une fonction croissante, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents, mais il est possible que deux nombres différents aient la même image.
Ainsi, si 0 \lt x, on a f(0) \leq f(x).