Étudier les variations et les extremums d’une fonctionCours

I

Les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour étudier les fonctions à valeur réelle, on peut décrire les intervalles où la fonction « monte » ou « descend ». C'est ce que l'on appelle l'étude des variations d'une fonction. Une fonction peut être croissante, décroissante ou monotone sur un intervalle. On représente la variation des fonctions dans des tableaux de variations.

A

La fonction croissante

La fonction croissante est une fonction qui « monte ». Elle peut être croissante sur son intervalle de définition ou sur un intervalle particulier. Elle garde l'ordre des inéquations.

Fonction croissante

On dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si pour tout x et y qui appartient à I :

x \leq y \implies f(x) \leq f(y)

La fonction f est croissante sur l'intervalle surligné en bleu :

-

On dit aussi que la fonction f conserve l'ordre. Cette remarque permet de résoudre des inéquations.

La notion de croissance est propre à la fonction f, mais on doit toujours préciser l'intervalle où la fonction croît. 

Une fonction f est croissante si et seulement si sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) « monte » sans jamais redescendre.

Le graphe suivant représente des fonctions qui sont croissantes sur [0; 1], [−1; 3].

-
B

La décroissance d'une fonction

La fonction décroissante est une fonction qui « descend ». Elle peut être décroissante sur son intervalle de définition ou sur un intervalle particulier. Elle inverse l'ordre des inéquations.

Fonction décroissante

On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si pour tout x et y qui appartient à I :

x \leq y \implies f(x) \geq f(y)

La fonction f est décroissante sur l'intervalle surligné en bleu :

-

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si -f est croissante.

On dit aussi que la fonction f renverse l'ordre, cela permet de résoudre des inéquations.

Comme pour la notion de croissance, la notion de décroissance est propre à la fonction f, mais on doit toujours préciser l'intervalle où la fonction croît.

Une fonction f est décroissante si et seulement si sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) « descend » sans jamais remonter.

Le graphe suivant représente des fonctions qui sont décroissantes sur [−1; 1], [−2; 1].

-
C

Les fonctions monotones

Le sens de variation des fonctions monotones est le même sur tout l'intervalle de définition.

Fonction monotone sur un intervalle

On dit qu'une fonction f est monotone sur un intervalle I si et seulement si elle y est croissante ou décroissante.

La fonction f est monotone sur l'intervalle car elle est seulement croissante. 

Courbe représentative de la fonction inverse
Courbe représentative de la fonction inverse
D

Les tableaux de variations sur un intervalle I

Pour représenter les variations d'une fonction sur un intervalle, on utilise un tableau de variations.

Tableau de variations

Un tableau de variations est un résumé des plus grands intervalles possibles où la fonction est monotone. La première ligne contient les intervalles d'étude, la deuxième ligne contient les variations, symbolisées par des flèches montantes ou descendantes en fonction de la croissance ou décroissance de la fonction.

On veut étudier les variations de la fonction suivante sur I = [−10; 12].

définition tableau de variations

On peut construire le tableau de variations suivant :

définition tableau de variations
II

Les extrema d'une fonction sur un intervalle

Il est possible de déterminer les extrema d'une fonction sur un intervalle. Il s'agit soit du maximum d'une fonction sur un intervalle ou du minimum d'une fonction sur un intervalle.

A

Le maximum d'une fonction sur un intervalle

Le maximum d'une fonction sur un intervalle correspond à la valeur maximale qu'atteint la courbe en un point de cet intervalle.

Maximum d'une fonction sur un intervalle

On dit qu'une fonction f admet un maximum M en x_0 sur un intervalle I si et seulement si pour tout x qui appartient à I, on a M = f(x_0), avec x_0 \in I, et  (f(x) \leq f(x_0) = M.

Sur l'image suivante, on observe le maximum d'une fonction sur \mathbb{R} :

-

L'existence d'un maximum n'est pas garantie.  

On prend I = \mathbb{R} et f la fonction carré. Pour tout nombre M, on trouve un nombre x tel que f(x) > M. Cette fonction n'admet pas de maximum.

Maximum global

On dit que M est un maximum global lorsque M est le maximum de f sur l'ensemble de son domaine de définition. 

A est un maximum local, B est un maximum global.

-

Maximum local

Si M n'est pas le maximum de f sur l'ensemble de son domaine de définition, alors le maximum est local.

Sur l'image suivante, on observe le maximum d'une fonction f sur l'intervalle [0, 3]. Ce maximum n'est pas global.

-
B

Le minimum d'une fonction sur un intervalle

Le minimum d'une fonction sur un intervalle correspond à la valeur minimale qu'atteint la courbe en un point de cet intervalle.

Minimum d'une fonction sur un intervalle

On dit qu'une fonction f admet un minimum M en x_0 sur un intervalle I si et seulement si pour tout x qui appartient à I, on a M = f(x_0), avec x_0 \in I, et :

f(x) \leq f(x_0) = M

L'existence d'un minimum n'est pas garantie.

On prend I = ]0, +\infty[  et f la fonction inverse. Pour tout nombre m> 0, on trouve un nombre x tel que f(x) < m. Cette fonction n'admet pas de minimum.

Minimum global

On dit que M est un minimum global lorsque M est le minimum de f sur l'ensemble de son domaine de définition.

A est un minimum global, B est un minimum local.

-

Minimum local

Si M n'est pas le minimum de f sur l'ensemble de son domaine de définition, alors on dit que le minimum est local.

III

L'étude des variations des fonctions de référence

On peut maintenant appliquer l'étude des variations sur les fonctions de référence : la fonction affine, la fonction inverse, la fonction carré, la fonction racine carrée et la fonction cube.

A

Les fonctions affines

Les fonctions affines sont les droites du plan. Leur sens de variation est monotone et dépend du signe de leur coefficient directeur. Dans ce cas, le taux de variations est constant et on peut dresser le tableau de variations ainsi que le tableau de signes sur \mathbb{R}.

1

Les variations et le taux de variation des fonctions affines

Soit f une fonction affine, qui s'écrit f : x \mapsto ax + b, avec a et b deux nombres réels, où a est non nul. Alors, f est monotone sur \mathbb{R}. Plus précisément :

  • Si a > 0, alors f est croissante sur \mathbb{R}.
  • Si a < 0 alors f est décroissante sur \mathbb{R}.

On introduit le taux de variation d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.

Taux de variation

Soient x et y deux nombres réels distincts. Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}. Le taux de variation de la fonction f aux points x et y est :

\tau_{x, y} = \dfrac{f(y) - f(x)}{x - y}

Le taux de variation pour les fonctions affines est très simple à calculer.

Soit f(x) = ax + b une fonction affine. Alors, pour tout x, y \in \mathbb{R}, le taux de variation de f ne dépend ni de x, ni de y, et :

\tau_{x, y} = a

Les fonctions affines représentent toutes les droites du plan qui ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées. Toutes ces droites admettent une unique équation réduite qui est exactement l'expression d'une fonction affine. Ainsi, on sait que a représente la pente de la droite. On retrouve ici que le taux de variation pour les fonctions affines est donc la pente de la droite associée.

Soient x et y deux nombres réels distincts. Alors :
f(y) − f(x) = ay + b − (ax + b) = ay + b -ax − b

D'où :
f(y) − f(x) = a(y -x)

Donc :
\tau_{x, y} = \dfrac{f(y) - f(x)}{y-x} = \dfrac{a(y-x)}{y-x} = a

On peut donner une description alternative de l'étude des variations des fonctions affines à l'aide du taux de variation.

  • Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif.
  • Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif.
  • Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
2

Le tableau de variations des fonctions affines

Si la fonction affine f : x \mapsto ax +b admet un coefficient directeur strictement positif a >0, alors le tableau de variations de f sur \mathbb{R} est le suivant :

-

Si la fonction affine f : x \mapsto ax +b admet un coefficient directeur strictement négatif a<0, alors le tableau de variations de f sur \mathbb{R} est le suivant :

-
3

Le tableau de signes d'une fonction affine

L'étude du tableau de signes d'une fonction affine sert à résoudre des inéquations du type ax + b \leq 0.

Les fonctions affines de la forme f : x \mapsto ax + b s'annulent en x_0 = -\dfrac{b}{a} .

On a aussi :
f(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \leq  -\dfrac{b}{a}

Et :
f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq  -\dfrac{b}{a}

On considère une fonction de la forme f : x \mapsto ax + b.

On a :
f(x) \leq 0 \Leftrightarrow ax + b \leq 0
f(x) \leq 0 \Leftrightarrow ax \leq -b 
f(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -\dfrac{b}{a} 

On démontre les autres équations de la même manière.

On a donc le tableau de signes suivant :

Tableau de signes d'une fonction affine en fonction de son coefficient directeur \(\displaystyle{a }\) et de l'ordonnée à l'origine \(\displaystyle{ b }\).
Tableau de signes d'une fonction affine en fonction de son coefficient directeur a et de l'ordonnée à l'origine b .
B

La fonction inverse

La fonction inverse associe à chaque réel, hormis zéro, son opposé. Son tableau de variations est décroissant sur \mathbb{R}_-^*  et décroissant sur \mathbb{R}_+^* .

La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty, 0[ et décroissante sur ]0, +\infty[.

Soient x et y deux nombres réels négatifs non nuls. On suppose que x \leq y. Si on divise cette inéquation par x<0, puis par y<0, on a successivement :
1 \geq \dfrac{y}{x}

Puis :
\dfrac{1}{y} \leq \dfrac{1}{x}

Finalement, \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y}, donc la fonction inverse est décroissante sur ]-\infty,0[.

Soient x et y deux nombres réels positifs non nuls. On suppose que x \leq y. Si on divise cette inéquation par x>0, puis par y>0, on a successivement :
1 \leq \dfrac{y}{x}

Puis :
\dfrac{1}{y} \leq \dfrac{1}{x}

Les inégalités n'ont pas changé de sens, puisque l'on a divisé les inéquations par des nombres positifs.

Finalement \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y}, donc la fonction inverse est décroissante sur ]0,+\infty[.

On ne peut pas dire pour autant que la fonction inverse est décroissante sur \mathbb{R}.

Si on note f : x \mapsto \dfrac{1}{x} la fonction inverse, alors pour x = −3 et y = 3, on a x < y mais pourtant :
f(x) = \dfrac{1}{−3} < 0 < \dfrac{1}{3} = f(y) \text{ donc } f(x) < f(y)

Ce qui est en contradiction avec la décroissance sur \mathbb{R}.

Il faut impérativement préciser l'intervalle où la fonction croît ou décroît lors de l'étude des variations.

Le tableau de variations de la fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{x} sur \mathbb{R}\backslash \{ 0 \} est le suivant :

-

0 est une valeur interdite pour la fonction inverse. Pour le signifier sur le tableau de variations, on place une double barre verticale en dessous du 0.

C

La fonction carré

La fonction carré associe à chaque réel le résultat de ce réel multiplié par lui-même. Le tableau de variations de la fonction carré est décroissant sur \mathbb{R}^- et croissant sur \mathbb{R}^+ .

La fonction carré est décroissante sur ]-\infty; 0] et croissante sur [0, +\infty[.

Si x et y sont des nombres négatifs, avec x \leq y, alors, si l'on multiplie par x < 0 l'inéquation x \leq y, on trouve :
x^2 \geq xy

On a xy >0. Mais on peut aussi multiplier x \leq y par y <0. On trouve :
yx \geq y^2

Finalement :
x^2 \geq xy \geq y^2

Donc x^2 \geq y^2.

On a bien montré que la fonction carré est décroissante sur ]-\infty, 0[.

Si x et y sont positifs, et x \leq y, alors x^2 \leq xy. On a aussi xy \leq y^2, en procédant de la même manière que précédemment. Cette fois-ci, x et y sont positifs, donc le sens des inégalités est conservé. Ainsi :
x^2 \leq xy \leq y^2

Finalement :
x^2 \leq y^2

Donc la fonction carré est croissante sur [0, +\infty[.

On peut donner une autre démonstration, qui s'appuie sur les identités remarquables :

Soient x et y deux réels, avec x \leq y.

On remarque que :
y^2 − x^2 = (y-x)(y + x)

On sait que y -x \geq 0, puisque x \leq y, et ceci quel que soit le signe de x et de y. Donc le signe de y^2 − x^2 est donné par le signe de y +x.

Si x et y sont négatifs, alors y+x est négatif, donc :
y^2 − x^2 \leq 0 \iff y^2 \leq x^2

La fonction carré est bien décroissante sur ]-\infty, 0].

Si x et y sont positifs, alors y+x est positif, on a donc :
y^2 − x^2 \geq 0 \iff y^2 \geq x^2

On retrouve que la fonction carré est croissante sur [0, +\infty[.

Le tableau de variations de la fonction f : x \mapsto x^2 sur \mathbb{R} est le suivant :

-
D

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée associe à chaque réel sa racine carrée. Le tableau de variations de la fonction racine carrée, définie sur \mathbb{R}^+ , est croissant sur \mathbb{R}^+ .

La fonction racine carrée est croissante sur [0, +\infty[.

Soient x et y deux nombres positifs. On suppose que x \leq y. On regarde S = \sqrt{x} − \sqrt{y}. On cherche à montrer que ce nombre est négatif. On remarque qu'en utilisant une identité remarquable, on obtient :
S\times(\sqrt{x} + \sqrt{y})  =  (\sqrt{x} − \sqrt{y})( \sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 − (\sqrt{y})^2 = x − y

On sait que x − y \leq 0, puisque x \leq y.

On sait que \sqrt{x} + \sqrt{y} \geq 0 puisque la somme de deux nombres positifs est un nombre positif.

Finalement, on a :
S \times ( \sqrt{x} + \sqrt{y}) = x − y \leq 0

Donc :
S \times ( \sqrt{x} + \sqrt{y}) \leq 0.

On a également :
S \leq 0

En effet, si S \geq 0, alors on aurait S \times ( \sqrt{x} + \sqrt{y})\geq  0, ce qui est impossible.

Finalement on a :
S = \sqrt{x} − \sqrt{y} \leq0

C'est donc que :
\sqrt{x} \leq \sqrt{y}

La fonction racine est bien croissante sur [0, +\infty[.

Le tableau de variations de la fonction f : x \mapsto \sqrt{x} sur [0, +\infty[ = \mathbb{R}^{+} est le suivant :

-
E

La fonction cube

La fonction cube associe à chaque réel le résultat de ce réel mis à la puissance trois. Le tableau de variations de la fonction cube est croissant sur \mathbb{R} .

La fonction cube est croissante sur \mathbb{R}.

Soient x et y deux nombres réels. On suppose que x \leq y, et on veut montrer qu'alors x^3 \leq y^3. Pour cela, on distingue trois cas :

Cas 1

x et y sont tous les deux des nombres réels positifs

Alors, on sait que x^2 \leq y^2 puisque la fonction carré est croissante sur \mathbb{R}^{+}= [0; +\infty[.

Donc, on a :
x^3 = x^2\times x \leq y^2 \times x \leq y^2 \times y = y^3

D'où, finalement, x^3 \leq y^3.

Cas 2

x est négatif et y est positif

Alors x^3 est aussi négatif, puisqu'un nombre négatif élevé à une puissance impaire est négatif, et y^3 est positif. Donc x^3 \leq 0 \leq y^3, on a toujours x^3 \leq y^3.

Cas 3

x et y sont négatifs

Alors on peut poser X = -x et Y = -y qui sont des nombres positifs. De plus, X \geq Y (attention, multiplier par −1 a changé l'ordre !).

Or, d'après le premier point :
X^3 \geq Y^3

Donc :
(-x)^3 \geq (-y)^3

Mais, (-x)^3 = -x^3, et (-y)^3 = -y^3, d'où :
-x^3 \geq -y^3

Finalement, en multipliant par −1<0 l'inégalité précédente (ce qui renverse l'ordre à nouveau), on obtient :
x^3 \leq y^3

Dans tous les cas, dès que x \leq y, on a x^3 \leq y^3. Donc la fonction cube est croissante sur \mathbb{R}.

Le tableau de variations de la fonction f : x \mapsto x^3 sur \mathbb{R} est le suivant :

-