On tire 2 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes. Soit X le nombre de rois obtenus au cours des 2 tirages.
Quel tableau correspond à la loi de X ?
X peut prendre les valeurs :
X\left(\Omega\right)= [\![ 0;2]\!]
Pour avoir X = 0
On ne tire pas de roi au 1er tirage (parmi 32 cartes dont 28 qui ne sont pas des rois) et pas non plus au 2e tirage (parmi 31 cartes dont 27 qui ne sont pas des rois) :
P\left(X=0\right) = \dfrac{28}{32} \times\dfrac{27}{31} = \dfrac{189}{248}
Pour avoir X = 2
On tire un roi au 1er tirage (parmi 32 cartes dont 4 rois) et au 2e tirage (parmis 31 cartes dont 3 rois) :
P\left(X= 2\right) = \dfrac{4}{32} \times\dfrac{3}{31} = \dfrac{3}{248}
Pour X = 1
Si on veut tirer 1 seul roi on suit le schéma suivant :
- soit on tire 1roi puis une carte autre qu'un roi avec la probabilité : \dfrac{4}{32}\times\dfrac{28}{31}= \dfrac{7}{62}
- soit on tire une carte autre qu'un roi puis on tire un roi: \dfrac{28}{32}\times\dfrac{4}{31}= \dfrac{7}{62}
Donc :
P\left(X= 1\right) = \dfrac{7}{62} + \dfrac{7}{62} = \dfrac{7}{31}
On vérifie bien que : P\left(X= 1\right) + P\left(X= 2\right) + P\left(X=0\right) = 1
P\left(X = 0\right) = \dfrac{189}{248}
P\left(X = 1\right) = \dfrac{7}{31}
P\left(X = 2\right) = \dfrac{3}{248}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
E\left(X\right)=0\times\dfrac{189}{248}+1\times\dfrac{7}{31}+2\times\dfrac{3}{248}
E\left(X\right)=\dfrac{1}{4}
L'espérance de X vaut \dfrac{1}{4}