Une urne contient 2 boules : une noire et une blanche. On tire une boule en notant sa couleur puis on la remet dans l'urne. On tire alors une deuxième fois une boule de l'urne et on note de nouveau sa couleur. X est la variable égale au nombre de boules blanches tirées au cours de l'expérience.
Quel tableau correspond à la loi de X ?
On peut soit ne tirer aucune boule blanche au cours des 2 tirages, soit tirer 2 fois une boule blanche, soit ne tirer qu'une seule fois une boule blanche ( au 1er ou au 2e tirage).
X peut donc prendre les valeurs :
X\left(\Omega\right)= [\![ 0; 2]\!]
Pour avoir X = 0, il faut tirer 2 boules noires. La probabilité de tirer une boule noire étant de \dfrac{1}{2}, et les tirages étant indépendants, on trouve que la probabilité de tirer 2 boules noires est :
\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}
Donc : P\left(X= 0\right) = \dfrac{1}{4}
Par le même raisonnement, on trouve que la probabilité de tirer 2 boules blanches est aussi un quart. Donc :
P\left(X= 2\right) = \dfrac{1}{4}
Par ailleurs, si on veut tirer 1 seule boule blanche on suit le schéma suivant : soit on tire 1 boule blanche puis une boule noire, soit on tire une boule noire puis une boule blanche: chacune de ces 2 possibilité a une probabilité de un quart : \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}
Donc :
P\left(X= 1\right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}
On vérifie bien que : P\left(X= 1\right) + P\left(X= 2\right) + P\left(X=0\right) = 1
P\left(X = 0\right)= \dfrac{1}{4}
P\left(X = 2\right)= \dfrac{1}{4}
P\left(X = 1\right)= \dfrac{1}{2}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
E\left(X\right)= 0\times\dfrac{1}{4} + 1\times \dfrac{1}{2} + 2\times \dfrac{1}{4}
E\left(X\right)= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} =1
L'espérance de X vaut 1