Etablir la loi d'une variable aléatoire discrète quelconque Exercice

On peut soit tirer 2 boules blanches au cours des 2 tirages, soit n'en tirer qu'une seule mais on ne peut pas en tirer 0 puisque le tirage s'effectue sans remise et qu'il n'y a qu'une seule boule noire dans l'urne (une fois qu'elle est tirée, il n'y a plus que des boules blanches).

X peut donc prendre les valeurs :

X\left(\Omega\right)= [\![ 1; 2]\!]

Pour obtenir la probabilité de tirer une seule boule blanche (X = 1) on additionne la probabilité des 2 schémas suivants :

• on tire une boule noire puis une boule blanche. Cet événement a une probabilité de : \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{2}= \dfrac{1}{3}, car les tirages ne sont pas indépendants donc on utilise les probabilités conditionnelles (au 1er tirage il y a 3 boules dans l'urne dont une seule noire, puis au 2e tirage il n'y a plus que 2 boules dans l'urne et ces deux boules sont blanches).
• on tire une boule blanche puis une noire. Cet événement a une probabilité de : \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}= \dfrac{2}{6}, car les tirages ne sont pas indépendants donc on utilise les probabilités conditionnelles (au 1er tirage il y a 3 boules dans l'urne dont 2 blanches, puis au 2e tirage il n'y a plus que 2 boules dans l'urne dont une noire).

Finalement :

P\left(X=1\right) = \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{6}= \dfrac{2}{3}

Pour obtenir la probabilité de (X = 2), on raisonne de la manière suivante : on tire une première boule blanche dans une urne contenant 3 boules dont 2 blanches puis on tire une deuxième boule blanche dans une urne contenant 2 boules dont 1 seule blanche. Ainsi :

P\left(X= 2\right) = \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}

On vérifie bien que : P\left(X= 1\right) + P\left(X= 2\right) = 1

L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :

E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)

E\left(X\right)= 1\times \dfrac{2}{3} + 2\times \dfrac{1}{3}

E\left(X\right)= \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} =\dfrac{4}{3}