On tire 2 cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes. Soit X le nombre de rois obtenus au cours des 2 tirages.
Quel tableau correspond à la loi de X ?
X peut prendre les valeurs :
X\left(\Omega\right)= [\![ 0;2]\!]
Pour avoir X = 0
On constate que la probabilité de ne pas tirer de roi à un tirage est \dfrac{32-4}{32}= \dfrac{28}{32}
Et les tirages étant indépendants, on trouve que la probabilité de ne pas tirer 2 rois est:
\dfrac{28}{32} \times \dfrac{28}{32} = \dfrac{49}{64}
Donc : P\left(X= 0\right) = \dfrac{49}{64}
Par le même raisonnement, on trouve que la probabilité de tirer 2 rois est :
P\left(X= 2\right) = \dfrac{4}{32} \times\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{64}
Pour X = 1
Si on veut tirer 1 seul roi on suit le schéma suivant : soit on tire 1roi puis une carte autre qu'un roi, soit on tire une carte autre qu'un roi puis on tire un roi: chacune de ces 2 possibilité a une probabilité de un quart : \dfrac{28}{32} \times \dfrac{4}{32} = \dfrac{7}{64}
Donc :
P\left(X= 1\right) = \dfrac{7}{64} + \dfrac{7}{64} = \dfrac{7}{32}
On vérifie bien que : P\left(X= 1\right) + P\left(X= 2\right) + P\left(X=0\right) = 1
P\left(X = 0\right) = \dfrac{49}{64}\\
P\left(X = 1\right) = \dfrac{7}{32}
P\left(X = 2\right) = \dfrac{1}{64}\\
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
E\left(X\right)=0\times\dfrac{49}{64}+1\times\dfrac{7}{32}+2\times\dfrac{1}{64}
E\left(X\right)=\dfrac{16}{64}=\dfrac{1}{4}
L'espérance de X vaut \dfrac{1}{4}