On considère la fonction f définie sur \left[ 2; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(2\right)=\sqrt{6} \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 2;+\infty \right[
f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que composée de fonctions continues sur \left] 2;+\infty \right[, avec x\longmapsto \sqrt{x^2+2} à valeurs dans \mathbb{R}^+.
Continuité en 2
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right).
Ici, on a f\left(2\right)=\sqrt{6}.
De plus, pour tout réel x\gt2 , f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}.
On a donc \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=\sqrt{6}
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)= f\left(2\right)
f est bien continue en 2.
On en conclut que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}\end{cases}
Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=2 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=x^3+2-\sqrt{x} \end{cases}
Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=3 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x+1\right)\end{cases}
Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=-2 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{x^3-4}{x^4+2}\end{cases}
Pourquoi f est-elle continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
On considère la fonction f définie sur \left[ \sqrt{2};+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(\sqrt{2}\right)=0 \cr \cr \forall x\gt\sqrt{2}, f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\end{cases}
Pourquoi f est-elle continue sur \left[ \sqrt{2};+\infty \right[ ?