On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=4x^2-2x+1
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=8x-2
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow 8x-2\gt0
\Leftrightarrow 8x\gt2
\Leftrightarrow x\gt\dfrac{1}{4}
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement décroissante sur \left] -\infty; \dfrac{1}{4}\right[
- f est strictement croissante sur \left] \dfrac{1}{4};+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :
- f est continue
- f est strictement décroissante
- f\left(-3\right)=4\times\left(-3\right)^2-2\times\left(-3\right)+1=43 et f\left(0\right)=1, avec 2\in\left[ 1;43 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].
L'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3x^2+8x-3
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=6x+8
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow 6x+8\gt0
\Leftrightarrow 6x\gt-8
\Leftrightarrow x\gt-\dfrac{4}{3}
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement décroissante sur \left] -\infty; -\dfrac{4}{3}\right]
- f est strictement croissante sur \left[ -\dfrac{4}{3};+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :
- f est continue
- f est strictement croissante
- f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=3\times\left(2\right)^2+8\times2-3=25, avec 5\in\left[ -3;25 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
L'équation f\left(x\right)=5 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=6x^2-3
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=12x
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow 12x\gt0
\Leftrightarrow x\gt0
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement décroissante sur \left] -\infty; 0\right]
- f est strictement croissante sur \left[ 0;+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ 0;2 \right] :
- f est continue
- f est strictement croissante
- f\left(0\right)=-3 et f\left(2\right)=6\times\left(2\right)^2-3=21, avec 0\in\left[ -3;21 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
L'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-3x^2+6x-1
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-6x+6
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow -6x+6\gt0
\Leftrightarrow -6x\gt-6
\Leftrightarrow -x\gt-1
\Leftrightarrow x\lt1
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement croissante sur \left] -\infty; 1\right]
- f est strictement décroissante sur \left[ 1;+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ 1;3 \right] :
- f est continue
- f est strictement décroissante
- f\left(1\right)=2 et f\left(3\right)=-10, avec 1\in\left[ -10;2 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right].
L'équation f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;3 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2-3
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=2x
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow 2x\gt0
\Leftrightarrow x\gt0
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement décroissante sur \left] -\infty; 0\right]
- f est strictement croissante sur \left[ 0;+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ 2;4 \right] :
- f est continue
- f est strictement croissante
- f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=13, avec 3\in\left[ 1;13 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].
L'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 2;4 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-3x^2+5x+2
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-6x+5
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow -6x+5\gt0
\Leftrightarrow -6x\gt-5
\Leftrightarrow -x\gt-\dfrac{5}{6}
\Leftrightarrow x\lt\dfrac{5}{6}
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement croissante sur \left] -\infty; \dfrac{5}{6}\right]
- f est strictement décroissante sur \left[ \dfrac{5}{6};+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ -3;0 \right] :
- f est continue
- f est strictement croissante
- f\left(-3\right)=-3\times\left(-3\right)^2+5\times\left(-3\right)+2=-40 et f\left(0\right)=2, avec -4\in\left[ -40;2 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].
L'équation f\left(x\right)=-4 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;0 \right].