On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^2-3x+1
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] ?
Etude du sens de variation de f
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=4x-3
f'\left(x\right)\gt0
\Leftrightarrow 4x-3\gt0
\Leftrightarrow 4x\gt3
\Leftrightarrow x\gt\dfrac{3}{4}
Or une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut que :
- f est strictement décroissante sur \left] -\infty; \dfrac{3}{4}\right]
- f est strictement croissante sur \left[ \dfrac{3}{4};+\infty\right[
Théorème des valeurs intermédiaires
Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :
- f est continue
- f est strictement décroissante
- f\left(-2\right)=2\times\left(-2\right)^2-3\times\left(-2\right)+1=15 et f\left(0\right)=1, avec \dfrac{5}{2}\in\left[ 1;15 \right].
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].
L'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= -3x^2+5x+4
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;4 \right] ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= x^2-4
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=-1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right] ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= -3x^2-3x+3
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= 12x^2+5x-8
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= -6x^2+4x
Quelle proposition démontre que l'équation f\left(x\right)=-2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] ?