Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution Exercice

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est dérivable
• f est strictement décroissante
• f\left(-2\right)=15 et f\left(0\right)=1, avec \dfrac{5}{2} \gt 1.

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est dérivable
• f est décroissante
• f\left(-2\right)=15 et f\left(0\right)=1, avec \dfrac{5}{2}\in\left[ 1;15 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est continue
• f est décroissante
• f\left(-2\right)=15 et f\left(0\right)=1, avec \dfrac{5}{2}\in\left[ 1;15 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(-2\right)=15 et f\left(0\right)=1, avec \dfrac{5}{2}\in\left[ 1;15 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=\dfrac{5}{2} admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;4 \right] :

• f est décroissante
• f\left(1\right)=6 et f\left(4\right)=-24, avec 0\in\left[ -24;6 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;4 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(1\right)=6 et f\left(4\right)=-24, avec 0\in\left[ -24;6 \right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;4 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(1\right)=6 et f\left(4\right)=-24, avec 0\in\left[ -24;6 \right]
• 1 et 4 sont positifs.

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ 1;4 \right] :

• f est continue
• f est strictement croissante
• f\left(1\right)=6 et f\left(4\right)=-24, avec 0\in\left[ -24;6\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 1;4 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(-3\right)=5 et f\left(-1\right)=-3, avec -1\in\left[ -3;5\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right] :

• f est strictement décroissante
• f\left(-3\right)=5 et f\left(-1\right)=-3, avec -1\in\left[ -3;5\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(-3\right)=-3 et f\left(-1\right)=5, avec -3 \lt -1 \lt 1 \lt 5.

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right].

Sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right] :

• f est continue
• f\left(-3\right)=5 et f\left(-1\right)=-3, avec -3 \lt -1 \lt 1 \lt 5.

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-1 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -3;-1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est strictement croissante
• f\left(0\right)=-3 et f\left(1\right)=3, avec 2\in\left[ -3;3\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(0\right)=3 et f\left(1\right)=-3, avec 2\in\left[ -3;3\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(0\right)=3

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est croissante
• f\left(0\right)=3 et f\left(1\right)=-3, avec 2\in\left[ -3;3\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est strictement décroissante
• f\left(0\right)=-8 et f\left(1\right)=9, avec 3\in\left[ -8;9\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est décroissante
• f\left(0\right)=9 et f\left(1\right)=-8, avec 3\in\left[ -8;9\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est continue
• f est strictement croissante
• f\left(0\right)=-8 et f\left(1\right)=9, avec 3\in\left[ -8;9\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] :

• f est strictement croissante
• f\left(0\right)=-8 et f\left(1\right)=9, avec 3\in\left[ -8;9\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=3 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est strictement croissante
• f\left(-2\right)=-32 et f\left(0\right)=0, avec -2\in\left[ -32;0\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est continue
• f est strictement croissante
• f\left(-2\right)=-32 et f\left(0\right)=0, avec -2\in\left[ -32;0\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est continue
• f\left(-2\right)=-32 et f\left(0\right)=0, avec -2\in\left[ -32;0\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].

Sur l'intervalle \left[ -2;0 \right] :

• f est continue
• f est strictement croissante
• f\left(-2\right)=-32 et f\left(0\right)=0, avec -2\in\left[ -32;0\right].

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation f\left(x\right)=-2 admet une unique solution sur l'intervalle \left[ -2;0 \right].