Quel est, en fonction de n, le PGCD de \left(2n^2-10n+7\right) et \left(n^2-5n\right) ?
On pose d=PGCD\left(2n^2-10n+7 ; n^2-5n\right).
D'après le cours, si d est le PGCD de \left(2n^2-10n+7\right) et \left(n^2-5n\right), alors d divise toute combinaison linéaire des deux expressions.
On détermine une combinaison linéaire de \left(2n^2-10n+7\right) et \left(n^2-5n\right) éliminant les n :
1\left(2n^2-10n+7\right) -2\left(n^2-5n\right) = 7
On en déduit que d divise 7.
Donc d=7 ou d=1.
Si d=7
Si d=7, alors 7 divise \left(2n^2-10n+7\right) et \left(n^2-5n\right).
On s'aide d'un tableau modulo 7 afin de déterminer les valeurs de n :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2n^2-10n+7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 6 | 0 | 5 |
| n^2-5n | 0 | 4 | 1 | 1 | 3 | 0 | 6 |
Les seuls cas possibles sont donc n = 7k ou n = 5+7k.
Donc, si n = 7k ou si n = 5+7k, PGCD\left(2n^2-10n+7 ; n^2-5n\right)=7.
Si d=1
Si d=1, alors PGCD\left(2n^2-10n+7 ; n^2-5n\right)=1.
- Si n = 7k ou n = 5+7k, PGCD\left(2n^2-10n+7 ; n^2-5n\right)=7
- Sinon PGCD\left(2n^2-10n+7; n^2-5n\right)=1
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