D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
37x+52y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 52 et 37 permet d'écrire :
52=37 \times1 +15
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 37 par 15 :
37 =15\times 2+7
Puis celle de 15 par 7 :
15 = 7\times 2 +1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 52 et d'un multiple de 37 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
15=2\times7+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=15-2\times7
On remplace ainsi 7 par 37-15\times2, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=15-2\times\left(37-15\times2\right)
\Leftrightarrow 1=-2\times37 + 5\times 15
On remplace maintenant 15 par 52-37\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=-2\times37 + 5\times \left(52-37\times 1\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 52 et 37 :
1=-2\times37 + 5\times52-5\times37
\Leftrightarrow 1 = 37\times \textcolor{Red}{\left(-7\right)}+52\times\textcolor{Red}{\left(5\right)}
Le couple d'entiers \left(-7;5\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
37x+52y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 52 et 37 permet d'écrire :
52=37 \times1 +15
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 37 par 15 :
37 =15\times 2+7
Puis celle de 15 par 7 :
15 = 7\times 2 +1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 52 et d'un multiple de 37 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
15=2\times7+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=15-2\times7
On remplace ainsi 7 par 37-15\times2, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=15-2\times\left(37-15\times2\right)
\Leftrightarrow 1=-2\times37 + 5\times 15
On remplace maintenant 15 par 52-37\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=-2\times37 + 5\times \left(52-37\times 1\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 52 et 37 :
1=-2\times37 + 5\times52-5\times37
\Leftrightarrow 1 = 37\times \textcolor{Red}{\left(-7\right)}+52\times\textcolor{Red}{\left(5\right)}
Le couple d'entiers \left(-7;5\right) est solution de (E).
Quel couple d'entiers est solution de l'équation 12x+5y = 1 ?
Quel couple d'entiers est solution de l'équation 63x+47y = 1 ?
Quel couple d'entiers est solution de l'équation 117x+73y= 1 ?
Quel couple d'entiers est solution de l'équation 43x+72y= 1 ?
Quel couple d'entiers est solution de l'équation 353x+212y= 1 ?