On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=-x^{2}+4x+2.
On donne sa représentation graphique D_{1} :
Quelle est la résolution sur \mathbb{R} de l'équation suivante ?
-x^{2}+4x+2=2
-x^{2}+4x+2=2
En ajoutant -2 aux deux membres de l'équation, on obtient :
-x^{2}+4x=0
On factorise par x :
x\left(-x+4\right)=0
Un produit de facteurs est égal à 0 si et seulement si l'un des facteurs est nul. On en déduit :
x = 0 ou x = 4.
L'équation admet deux solutions : x=0 et x = 4.
Quels sont les antécédents de 2 par f ?
Les antécédents de 2 par f sont les solutions de l'équation :
f\left(x\right)=2
Cela revient à résoudre l'équation résolue précédemment :
-x^{2}+4x+2=2
Les antécédents de 2 par D_{1} sont donc 0 et 4.
Quels sont les antécédents, déterminés graphiquement, de -3 par f ?
Pour déterminer graphiquement les antécédents de -3 par f, on trace la droite horizontale coupant l'axe des ordonnées par -3, et on lit les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe D_{1} :
Les antécédents de -3 par f sont -1 et 5.