On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=-2x^{2}-4x+5.
On donne sa représentation graphique D_{1} :
Quelle est la résolution sur \mathbb{R} de l'équation suivante ?
-2x^{2}-4x+5=5
-2x^{2}-4x+5=5
En ajoutant -5 aux deux membres de l'équation, on obtient :
-2x^{2}-4x=0
On factorise par x :
x\left(-2x-4\right)=0
Un produit de facteurs est égal à 0 si et seulement si l'un des facteurs est nul. On en déduit :
x = 0
ou : -2x-4=0
x=\dfrac{4}{-2}=-2
L'équation admet deux solutions : x = 0 et x = -2.
Quels sont les antécédents de 5 par f ?
Les antécédents de 5 par f sont les solutions de l'équation :
f\left(x\right)=5
Cela revient à résoudre l'équation résolue précédemment :
-2x^{2}-4x+5=5
Les antécédents de 5 par D_{1} sont donc 0 et -2.
Quels sont les antécédents, graphiquement déterminés, de -1 par f ?
Pour déterminer graphiquement les antécédents de -1 par f, on trace la droite horizontale coupant l'axe des ordonnées par -1, et on lit les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe D_{1} :
Les antécédents de -1 par f sont -3 et 1.