Etudier un problème à l'aide d'une loi binomiale Problème

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de "pile" obtenus.

D'après l'énoncé, on est en présence de cinquante répétitions d'une même expérience aléatoire, de façon indépendante. Les issues possibles sont : "pile " ou "face" . On est donc en présence d'une épreuve de Bernoulli répétée cinquante fois de façons identiques et indépendantes.

D'après l'énoncé, on sait que la pièce de monnaie est parfaitement équilibrée.

Donc :

La probabilité p qu'à chaque épreuve, la pièce tombe sur pile est de \cfrac{1}{2}.

La probabilité q qu'à chaque épreuve, la pièce tombe sur face est de \cfrac{1}{2}.

Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont \left\{0{,}1{,}2,...,49{,}50\right\}.

D'après ce qui précède, X suit une loi binomiale de paramètre n = 50 et p=\cfrac{1}{2}.

D'après le cours, on a pour tout 0 \leqslant k\leqslant50 :

p\left(X=k\right)=\dbinom{50}{k}p^k\left(1-p\right)^{50-k}=\dbinom{50}{k}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^k\times \left(\cfrac{1}{2}\right)^{50-k}=\dbinom{50}{k}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50}

On rappelle quelques formules de cours :

Pour tout entier n non nul : \dbinom{n}{0}=1;\quad\dbinom{n}{1}=n;\quad\dbinom{n}{2}=\cfrac{n\left(n-1\right)}{2}

• On calcule p\left(X=0\right)

D'après ce qui précède, on obtient :

p\left(X=0\right)=\dbinom{50}{0}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50}=\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50} donc :

p\left(X=0\right)\approx 8{,}88\times 10^{-16}

• On calcule p\left(X=1\right)

p\left(X=1\right)=\dbinom{50}{1}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50}=50\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50} donc :

p\left(X=1\right)\approx 4{,}44\times 10^{-14}

• On calcule p\left(X=2\right)

p\left(X=2\right)=\dbinom{50}{2}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50}=1\ 225\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^{50} donc :

p\left(X=2\right)\approx 1{,}09\times 10^{-12}

Calculer la probabilité d'obtenir au moins 10 "pile" lors des 50 lancers revient à calculer la probabilité suivante : p\left(X\geq10\right).

Or, l'événement contraire d'obtenir au moins 10 "pile" : \overline{\left(X\geq10\right)} est l'événement d'obtenir au plus 9 "pile" : \left(X \leqslant9\right). Donc :

D'après le cours on a :

p\left(\overline{X\geq10}\right)+p\left(X\geq10\right)=1 donc :

p\left(X\geq10\right)=1-p\left(\overline{X\geq10}\right) donc :

p\left(X\geq10\right)=1-p\left(X\leqslant 9\right) donc :

p\left(X\geq10\right)=1-\sum_{k=0 }^{n=9}p\left(X=k\right)

p\left(X\geq10\right)=1-p\left(X=0\right)-p\left(X=1\right)-p\left(X=2\right)-p\left(X=3\right)-...-p\left(X=9\right) donc :

p\left(X\geq10\right)\approx 0{,}99\approx 1 (On utilise une calculatrice ou un tableur)

En voici un extrait :

D'après ce qui précède, on a montré que X suit une loi binomiale de paramètre n=50 et de probabilité p=\cfrac{1}{2}.

Or, d'après le cours, l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est donnée par :

E\left(X\right)=np donc ici :

E\left(X\right)=50\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{50}{2}=25

D'après ce qui précède, on a montré que :

E\left(X\right)=25

Or, d'après le cours, l'espérance d'une variable aléatoire correspond à une moyenne des valeurs que peut prendre cette variable.

D'après l'énoncé, chaque fois que la pièce tombe sur "pile", on gagne 0,20 euros.

Or, d'après la questions précédente, on a montré que l'espérance de la variable aléatoire X est égale à 25.

On en déduit qu'en moyenne on peut espérer gagner : 0{,}2\times 25

soit en moyenne 5 euros lors des 50 lancers.