Etudier un problème à l'aide d'une loi binomiale Problème

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de fléchettes atteignant le centre de la cible.

D'après l'énoncé, on est en présence de cinq répétitions d'une même expérience aléatoire, de façon indépendante. Les issues possibles sont : "la fléchette atteint le centre de la cible" ou "la fléchette n'atteint pas le centre de la cible". On est donc en présence d'une épreuve de Bernoulli répétée cinq fois de façons identiques et indépendantes.

D'après l'énoncé, on sait que que la probabilité p qu'une fléchette quelconque donnée atteigne le centre de la cible est de 0,4.

Donc : p=0{,}4

La probabilité q qu'une fléchette quelconque donnée n'atteigne pas le centre de la cible est de : 1-0{,}4=0{,}6

Donc : q=1-p=0{,}6

Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont \left\{0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5\right\}.

D'après ce qui précède, X suit une loi binomiale de paramètre n = 5 et p=0{,}4.

D'après le cours on a pour tout 0 \leqslant k\leqslant5 :

p\left(X=k\right)=\dbinom{5}{k}p^k\left(1-p\right)^{5-k}=\dbinom{5}{k}\times\left(0{,}4\right)^k\times \left(0{,}6\right)^{5-k}

On rappelle quelques formules de cours :

Pour tout entier n non nul : \dbinom{n}{0}=1;\quad\dbinom{n}{1}=n;\quad\dbinom{n}{2}=\cfrac{n\left(n-1\right)}{2}

• On calcule p\left(X=0\right)

D'après ce qui précède, on obtient :

p\left(X=0\right)=\dbinom{5}{0}\times\left(0{,}4\right)^{0}\times \left(0{,}6\right)^5=0{,}6^5 donc :

p\left(X=0\right)\approx 0{,}08

• On calcule p\left(X=1\right)

p\left(X=1\right)=\dbinom{5}{1}\times\left(0{,}4\right)^{1}\times \left(0{,}6\right)^4=5\times 0{,}4\times0{,}6^4 donc :

p\left(X=1\right)=0{,}2592

• On calcule p\left(X=2\right)

p\left(X=2\right)=\dbinom{5}{2}\times\left(0{,}4\right)^{2}\times \left(0{,}6\right)^3=10\times0{,}4^2\times 0{,}6^3 donc :

p\left(X=2\right)=0{,}3456

Méthode 1 :

Calculer la probabilité d'obtenir au moins quatre fléchettes au centre de la cible lors des cinq lancers revient à calculer la probabilité suivante : p\left(X\geq4\right)

Or, l'événement contraire d'obtenir au moins quatre fléchettes au centre de la cible \overline{\left(X\geq4\right)} est l'événement d'obtenir au plus trois fléchettes au centre de la cible : \left(X \leqslant3\right). Donc :

D'après le cours, on a :

p\left(\overline{X\geq4}\right)+p\left(X\geq4\right)=1 donc :

p\left(X\geq4\right)=1-p\left(\overline{X\geq4}\right) donc :

p\left(X\geq4\right)=1-p\left(X\leqslant 3\right)

Or, p\left(X\leqslant 3\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right) donc :

p\left(X\geq4\right)=1-p\left(X=0\right)-p\left(X=1\right)-p\left(X=2\right)-p\left(X=3\right)

D'après la question précédente, on connaît : p\left(X=0\right);\;P\left(X=1\right);\;p\left(X=1\right);\;p\left(X=2\right)

Il reste à calculer p\left(X=3\right).

p\left(X=3\right)=\dbinom{5}{3}0{,}4^3\times 0{,}6^2

Or, d'après le cours, on sait que pour tout k\in[\![0,n ]\!], \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k} donc :

\dbinom{5}{3}=\dbinom{5}{2}, ainsi :

p\left(X=3\right)=\dbinom{5}{3}0{,}4^3\times 0{,}6^2=\dbinom{5}{2}0{,}4^3\times 0{,}6^2=10\times0{,}4^3\times 0{,}6^2 donc :

p\left(X=3\right)=0{,}2304

On obtient donc :

p\left(X\geq4\right)=1-p\left(X=0\right)-p\left(X=1\right)-p\left(X=2\right)-p\left(X=3\right)

p\left(X\geq4\right)\approx1-0{,}08-0{,}2592-0{,}3456-0{,}2304=0{,}0848 donc :

p\left(X\geq4\right)\approx0{,}09

Méthode 2 :

Calculer la probabilité que Mickaël lance au moins quatre fléchettes au centre de la cible revient à calculer la probabilité suivante : p\left(X\geq4\right).

Or p\left(X\geq4\right)=p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)

Donc :

p\left(X\geq4\right)=\dbinom{5}{4}\times0{,}4^4\times0{,}6^1+\dbinom{5}{5}\times0{,}4^5\times0{,}6^0

Or, d'après le cours, on sait que pour tout k\in[\![0,n ]\!], \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k} et \dbinom{n}{n}=1 donc :

\dbinom{5}{4}=\dbinom{5}{1}=5 et \dbinom{5}{5}=1

On obtient donc :

p\left(X\geq4\right)=\dbinom{5}{4}\times0{,}4^4\times0{,}6^1+\dbinom{5}{5}\times0{,}4^5\times0{,}6^0=5\times 0{,}4^4\times 0{,}6+0{,}4^5

p\left(X\geq4\right)\approx 0{,}09

D'après ce qui précède, on a montré que X suit une loi binomiale de paramètre n=5 et de probabilité p=0{,}4.

Or, d'après le cours l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est donnée par :

E\left(X\right)=np, donc ici :

E\left(X\right)=5\times 0{,}4=2

D'après ce qui précède, on a montré que :

E\left(X\right)=2

Or, d'après le cours, l'espérance d'une variable aléatoire correspond à une moyenne des valeurs que peut prendre cette variable.

D'après l'énoncé, chaque fois que Mickaël lance une fléchette au centre de la cible, il gagne 3 euros.

Or, d'après la questions précédente, on a montré que l'espérance de la variable aléatoire X est égale à 2.

On en déduit qu'en moyenne on peut espérer gagner : 2\times 3

soit en moyenne 5 euros lors des cinq lancers.