Franck annonce que la proportion des Français de groupe sanguin O est de 50%.
On effectue une analyse sur 1000 personnes choisies au hasard.
On observe que 432 personnes sont du groupe sanguin O.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}5.
On donne un extrait d'une feuille de calcul concernant la loi X.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=1\ 000, de la variable aléatoire X ?
D'après l'énoncé, on sait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n=1\ 000 et p=0{,}5.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la variable aléatoire X, on détermine d'abord les entiers a et b , où a est le plus petit entier tel que P\left(X≤a\right) \gt 0{,}025, et b le plus petit entier tel que P\left(X≤b\right)≥0{,}975, grâce à la table des valeurs des P\left(X≤k\right).
Puisque p\left(X≤468\right)≈0{,}023 et p\left(X≤469\right)≈0{,}0268 , on en déduit que a=469.
De même, p\left(X≤530\right)≈0{,}973 et p\left(X≤531\right)≈0{,}9768 , donc b=531.
On a donc :
p\left(469≤X≤531\right)≥0{,}95
Or, d'après le cours, un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable X est du type : I=\left[\cfrac{a}{n};\cfrac{b}{n}\right].
On obtient donc :
I=\left[\cfrac{469}{1\ 000};\cfrac{531}{1\ 000}\right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable X est donc l'intervalle : I=\left[\cfrac{469}{1\ 000};\cfrac{531}{1\ 000}\right]=\left[0{,}469;0{,}531\right].
En supposant que Franck a raison, quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des Français de groupe sanguin O sur un échantillon de taille 1000 ?
D'après l'énoncé, on suppose que Franck a raison.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des Français de groupe sanguin O sur un échantillon de taille 1000, il suffit d'utiliser la question précédente.
C'est-à-dire :
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=1\ 000, de la variable aléatoire X.
Donc :
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la proportion des Français de groupe sanguin O sur un échantillon de taille 1000 est : I=\left[0{,}469;0{,}531\right].
Au seuil de 5%, peut-on penser que Franck a raison ?
D'après l'énoncé, on observe que 432 personnes sont du groupe sanguin O.
Donc, la fréquence observée est de :
f=\cfrac{432}{1\ 000}=0{,}432
Or, f\notin I.
Donc :
Au seuil de 5%, on peut penser que Franck a tort.