On lance 500 fois une pièce de monnaie.
On obtient 273 "pile".
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n=500 et p=0{,}5.
On donne un extrait d'une feuille de calcul concernant la loi X.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=500, de la variable aléatoire X ?
D'après l'énoncé, on sait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n=500 et p=0{,}5.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la variable aléatoire X, on détermine d'abord les entiers a et b , où a est le plus petit entier tel que P\left(X≤a\right) \gt 0{,}025, et b le plus petit entier tel que P\left(X≤b\right)≥0{,}975, grâce à la table des valeurs des P\left(X≤k\right).
Puisque p\left(X≤227\right)≈0{,}022 et p\left(X≤228\right)≈0{,}027 , on en déduit que a=228.
De même, p\left(X≤271\right)≈0{,}972 et p\left(X≤272\right)≈0{,}977 , donc b=272.
On a donc :
p\left(228≤X≤272\right)≥0{,}95
Or, d'après le cours, un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable X est du type : I=\left[\cfrac{a}{n};\cfrac{b}{n}\right].
On obtient donc :
I=\left[\cfrac{228}{500};\cfrac{272}{500}\right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence associée à la variable X est donc : I=\left[\cfrac{228}{500};\cfrac{272}{500}\right]=\left[0{,}456;0{,}544\right].
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquences des "Pile" sur un échantillon de 500 lancers avec une pièce équilibrée ?
D'après l'énoncé, on suppose que la pièce est parfaitement équilibrée.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquences des "Pile" sur un échantillon de 500 lancers avec une pièce équilibrée, il suffit d'utiliser la question précédente.
C'est-à-dire :
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n=500, de la variable aléatoire X.
Donc :
Un intervalle de fluctuation au seuil de 5% de la fréquences des "Pile" sur un échantillon de 500 lancers avec une pièce équilibrée est donc l'intervalle : I=\left[0{,}456;0{,}544\right].
Au seuil de 5%, peut-on penser que la pièce de monnaie est équilibrée ?
D'après l'énoncé, on observe qu'il y a eu 273 "piles" sur les 500 lancers.
La fréquence des piles observée est donc de :
f=\cfrac{273}{500}=0{,}546
Or, f\notin I.
Donc :
Au seuil de 5%, on peut penser que la pièce de monnaie n'est pas équilibrée.