OABC est un tétraèdre tel que les triangles OAB, OAC et OBC sont rectangles isocèles en O.
OA=OB=OC=4 cm.
On appelle I le milieu du côté \left[BC\right] et H le pied de la hauteur du tétraèdre issue du sommet O.
Quel est le volume du tétraèdre OABC ?
Le volume d'un tétraèdre est égal au tiers d'une de ses hauteurs multiplié par l'aire de la base correspondante.
Dans le tétraèdre OABC, OA est la hauteur correspondant à la base OBC. Son volume est donc égal à :
V=\dfrac{1}{3}\times OA\times\mathcal{A}\left(OBC\right)
V=\dfrac{1}{3}\times4\times\dfrac{4\times4}{2}=\dfrac{32}{3} cm3
Le volume du tétraèdre OABC est donc égal à \dfrac{32}{3}\approx10{,}7 cm3.
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
Sachant que OAB, OAC et OBC sont trois triangles rectangles isocèles avec OA=OB=OC, leurs hypoténuses ont donc même longueur.
Ce qui signifie que AB=AC=BC et donc que le triangle ABC est équilatéral.
On en déduit que la médiane \left(AI\right) est aussi la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
L'aire de ABC est ainsi égale à :
{A}\left(ABC\right)=\dfrac{BC\times AI}{2}
Calcul de BC
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle OBC :
BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}=16+16=32
Donc :
BC=\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2} cm
Calcul de AI
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle AIB :
AI^{2}=AB^{2}-BI^{2}=32-\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=32-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=32-8=24
Donc :
AI=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6} cm
Aire du triangle ABC
Finalement, on a :
{A}\left(ABC\right)=\dfrac{4\sqrt{2}\times 2\sqrt{6}}{2}=4\sqrt{2\times6}=4\sqrt{4\times3}=8\sqrt{3} cm2
L'aire du triangle ABC est donc égale à 8\sqrt{3} cm2.
Quelle est la valeur de la longueur OH ?
OH étant la hauteur du tétraèdre OABC issue du sommet O, on a :
V=\dfrac{1}{3}\times OH\times\mathcal{A}\left(ABC\right)
D'où :
OH=\dfrac{3\times V}{{A}\left(ABC\right)}
OH=\dfrac{3\times\dfrac{32}{3}}{8\sqrt{3}}=\dfrac{32}{8\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} cm
La longueur OH est donc égale à \dfrac{4\sqrt{3}}{3} cm.