On étudie la série Balmer du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène :
Les niveaux d'énergies de l'atome d'hydrogène sont obtenus par la relation :
E_{n(\text{eV})}=\dfrac{-13{,}6}{n^2}
On cherche à déterminer la longueur d'onde manquante sur le spectre d'émission.
Quelle est l'énergie des sept premiers niveaux de l'atome d'hydrogène ?
Il suffit d'effectuer les sept applications numériques à partir de la relation E_{n(\text{eV})}=\dfrac{-13{,}6}{n^2} :
- Pour n=1 : E_1=\dfrac{-13{,}6}{1^2}=-13{,}6 \text{ eV}
- Pour n=2 : E_2=\dfrac{-13{,}6}{2^2}=-3{,}40 \text{ eV}
- Pour n=3 : E_3=\dfrac{-13{,}6}{3^2}=-1{,}51 \text{ eV}
- Pour n=4 : E_4=\dfrac{-13{,}6}{4^2}=-0{,}85 \text{ eV}
- Pour n=5 : E_5=\dfrac{-13{,}6}{5^2}=-0{,}54 \text{ eV}
- Pour n=6 : E_6=\dfrac{-13{,}6}{6^2}=-0{,}38 \text{ eV}
- Pour n=7 : E_7=\dfrac{-13{,}6}{7^2}=-0{,}28 \text{ eV}
L'énergie des sept premiers niveaux est :
-13{,}6\text{ eV, }-3{,}40\text{ eV,} -1{,}51\text{ eV,}-0{,}85\text{ eV,}-0{,}54\text{ eV,}-0{,}38\text{ eV et }-0{,}28\text{ eV}
On considère que la transition suivante dans la série correspond à la transition dont la valeur est manquante dans le spectre.
Quelle est sa longueur d'onde ?
En continuant la série, on déduit que la transition suivante est \text{n}=7 \longrightarrow \text{n}=2.
La différence d'énergie associée à cette transition est donc :
\Delta E = \left|E_2 - E_7\right|
\Delta E = \left|-3{,}40 - (-0{,}28)\right|
\Delta E = 3{,}12 \text{ eV}
La différence d'énergie \Delta E associée à la transition a pour expression :
\Delta E_{\text{(J)}} = \dfrac{ h_{\text{(J.s)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{\lambda_{\text{(m)}}}
On peut obtenir la différence d'énergie en \text{eV} en divisant par le facteur de conversion :
\Delta E_{\text{(eV)}} = \dfrac{ h_{\text{(J.s)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{\lambda_{\text{(m)}} \times 1{,}60.10^{-19}}
On déduit l'expression pour la longueur d'onde :
\lambda = \dfrac{ h \times c}{\Delta E \times 1{,}60.10^{-19}}
D'où l'application numérique :
\lambda = \dfrac{6{,}63.10^{-34} \times 2{,}99.10^8}{3{,}12 \times 1{,}60.10^{-19}}
\lambda = 3{,}97.10^{-7} \text{ m}\\\lambda = 397 \text{ nm}
La longueur d'onde est de 397 nm.