Terminale L 2015-2016
Kartable
Terminale L 2015-2016

La fonction logarithme népérien

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur + et notée ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :

ln(x)=yx=ey

Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est ainsi l'unique solution de l'équation ey=x d'inconnue y.

  • Pour tout réel x, ln(ex)=x
  • Pour tout réel x strictement positif, eln(x)=x
  • ln(1)=0
B

Le signe

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

ln(xy)=ln(x)+ln(y)

ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)

ln(1x)=ln(x)

ln(14)=ln(4)

ln(xy)=ln(x)ln(y)

ln(37)=ln(3)ln(7)

ln(xn)=nln(x)

ln(8)=ln(23)=3ln(2)

ln(x)=12ln(x)

ln(2)=12ln(2)

II

Etude du logarithme népérien

A

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur +. Pour tout réel x strictement positif :

ln(x)=1x

Dérivée de ln(u)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée ln(u) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

(ln(u))(x)=u(x)u(x)

Considérons la fonction définie et dérivable sur ]12;+[ par f(x)=ln(2x+1).

On pose, pour tout réel x de ]12;+[ :

  • u(x)=2x+1
  • u(x)=2

On a f=ln(u), donc f=uu. Ainsi, pour tout réel x de ]12;+[ :

f(x)=22x+1

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur +.

-

La droite d’équation y=x1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.

-

La fonction logarithme népérien est concave.

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

-
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