Les primitives Cours

Sommaire

IPrimitives d'une fonction continueIILes primitives des fonctions usuellesIIIOpérations et primitives
I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout réel x de I :

F'\left(x\right) = f\left(x\right)

Soient F et f, deux fonctions définies et dérivables sur \mathbb{R}, telles que, pour tout réel x :

  • F\left(x\right)=x^3-5x+1
  • f\left(x\right)=3x^2-5

On a, pour tout réel x, F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right). Donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x\longmapsto F\left(x\right) + k, où k est un réel quelconque.

La fonction définie sur \mathbb{R}_+^* par F\left(x\right)=8x-\dfrac1x est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^* de la fonction f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}. Toutes les primitives de f sur \mathbb{R}_+^* sont donc de la forme :

x\longmapsto8x-\dfrac1x+k avec k\in\mathbb{R}

Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soit un entier n et un réel k. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f\left(x\right) F\left(x\right) I
k kx \mathbb{R}
x^{n} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} si n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R}

si n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[ et \left]0 ; + \infty \right[

\dfrac{1}{\sqrt{x}} 2\sqrt{x} \left]0 ; + \infty \right[
\dfrac{1}{x} \ln\left(x\right) \left]0 ; + \infty \right[
e^{x} e^{x} \mathbb{R}
\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right) \mathbb{R}
\cos\left(x\right) \sin\left(x\right) \mathbb{R}
\sin\left(ax+b\right) -\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right) \mathbb{R}, avec a \neq 0
\cos\left(ax+b\right) \dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right) \mathbb{R}, avec a \neq 0
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f F Conditions
u'u^{n} \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} si n \leq- 2, u\left(x\right) \neq 0 sur I
\dfrac{u'}{u} \ln\left(u\right) u \gt 0
\dfrac{u'}{\sqrt{u}} 2\sqrt{u} u \gt 0
u'e^{u} e^{u}
u'\sin\left(u\right) - \cos\left(u\right)
u'\cos\left(u\right) \sin\left(u\right)