Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{\left(\ln\left(x\right)\right)^3}{x}.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur cet intervalle ?
On a pour tout réel x de \left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)=\dfrac{\left(\ln\left(x\right)\right)^3}{x}
On pose, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[ :
u\left(x\right)= \ln\left(x\right)
u est dérivable sur \left]0;+\infty\right[, et, pour tout réel x de \left]0;+\infty\right[, u'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
On a f=u'\times u^3 donc une primitive de f est F avec F=\dfrac{u^4}{4}.
Pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, on obtient :
F\left(x\right) = \dfrac{\left(\ln\left(x\right)\right)^4}{4}.
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{\left(\ln\left(x\right)\right)^4}{4} est une primitive de f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur cet intervalle ?
On a f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'\left(x\right)}{\sqrt{u\left(x\right)}} en posant, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2+3.
Ainsi, une primitive de f est F avec F=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{u}=\sqrt{u}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = \sqrt{x^2+3}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\sqrt{x^2+3} est une primitive de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x\left(3x^2-7\right)^5.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a f\left(x\right)=x\left(3x^2-7\right)^5=\dfrac{1}{6}\times 6x\times \left(3x^2+7\right)^5=\dfrac{1}{6}\times u'\left(x\right)\times u\left(x\right)^5 en posant, pour tout réel x :
u\left(x\right)=3x^2-7.
Ainsi, une primitive de f est F avec F=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{u^6}{6}=\dfrac{u^6}{36}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = \dfrac{\left(3x^2-7\right)^6}{36}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \dfrac{\left(3x^2-7\right)^6}{36} est une primitive de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{x}{\left(x^2+3\right)^7}.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a f\left(x\right)=\dfrac{x}{\left(x^2+3\right)^7}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{\left(x^2+3\right)^7}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)^7} en posant, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2+3.
Or une primitive de \dfrac{u'}{u^n} est \dfrac{-1}{(n-1)u^{n-1}}.
Ainsi, une primitive de f est F avec F=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-1}{6u^6}=\dfrac{-1}{12u^6}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = \dfrac{-1}{12\left(x^2+3\right)^6}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \dfrac{-1}{12\left(x^2+3\right)^6} est une primitive de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\left(\cos\left(x\right)\right)^4.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\left(\cos\left(x\right)\right)^4=-\left(-\sin\left(x\right)\right)\left(\cos\left(x\right)\right)^4=-1\times u'\left(x\right)\times u\left(x\right)^4 en posant, pour tout réel x, u\left(x\right)=\cos\left(x\right).
Ainsi, une primitive de f est F avec F=-1\times \dfrac{u^5}{5}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = -\dfrac{\left(\cos\left(x\right)\right)^5}{5}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = -\dfrac{\left(\cos\left(x\right)\right)^5}{5} est une primitive de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^x\left(e^x+5\right)^6.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a f\left(x\right)=e^x\left(e^x+5\right)^6=u'\left(x\right)\times u\left(x\right)^6 en posant, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x+5.
Ainsi, une primitive de f est F avec F=\dfrac{u^7}{7}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = \dfrac{\left(e^x+5\right)^7}{7}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \dfrac{\left(e^x+5\right)^7}{7} est une primitive de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^4}.
Dans quelle proposition détermine-t-on correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^4}=\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)^4} en posant, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x+1.
Ainsi, une primitive de f est F avec F=-\dfrac{1}{3u^3}.
Pour tout réel x, on obtient :
F\left(x\right) = -\dfrac{1}{3\left(e^x+1\right)^3}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = -\dfrac{1}{3\left(e^x+1\right)^3} est une primitive de f.