Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \left(3x^2-4\right)\sin\left(x^3-4x\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \left(3x^2-4\right)\sin\left(x^3-4x\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^3-4x.
On a alors u'\left(x\right)=3x^2-4.
f= u'\times \sin\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=-\cos\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=- \cos\left(u\left(x\right)\right)=-\left(\cos\left(x^3-4x\right)\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\cos\left(x^3-4x\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \sin\left(5x-11\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \sin\left(5x-11\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=5x-11.
On a alors u'\left(x\right)=5.
f= \dfrac{1}{5}\times u'\times \sin\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=-\dfrac{1}{5}\times \cos\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=- \dfrac{1}{5}\cos\left(u\left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{5}\cos\left(5x-11\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{5}\cos\left(5x-11\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \cos\left(-7x+4\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \cos\left(-7x+4\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=-7x+4.
On a alors u'\left(x\right)=-7.
f=- \dfrac{1}{7}\times u'\times \cos\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=-\dfrac{1}{7}\times \sin\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=- \dfrac{1}{7}\sin\left(u\left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{7}\sin\left(-7x+4\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{7}\sin\left(-7x+4\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= x^2\cos\left(x^3-7\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= x^2\cos\left(x^3-7\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^3-7.
On a alors u'\left(x\right)=3x^2.
f= \dfrac{1}{3}\times u'\times \cos\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=\dfrac{1}{3}\times \sin\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\sin\left(u\left(x\right)\right)=\dfrac{1}{3}\sin\left(x^3-7\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\sin\left(x^3-7\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= e^xsin\left(e^x\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= e^xsin\left(e^x\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x.
On a alors u'\left(x\right)=e^x.
f= u'\times \sin\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=-\cos \left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=-\cos\left(u\left(x\right)\right)=-\cos\left(e^x\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\cos\left(e^x\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \left(3x^2+x\right)\sin\left(2x^3+x^2+11\right).
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \left(3x^2+x\right)\sin\left(2x^3+x^2+11\right).
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=2x^3+x^2+11.
On a alors u'\left(x\right)=6x^2+2x.
f= \dfrac{1}{2}\times u'\times \sin\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=-\dfrac{1}{2}\cos \left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\cos\left(u\left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{2}\cos\left(2x^3+x^2+11\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\cos\left(2x^3+x^2+11\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \left]0;+\infty\right[ ?
On a, pour tout réel x appartenant à l'intervalle \left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)= \dfrac{\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}.
On pose, pour tout réel x\gt 0, u\left(x\right)=\ln\left(x\right).
On a alors u'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
f= u'\times \cos\left(u\right), donc une primitive de f est F avec F=\sin \left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x\gt 0 :
F\left(x\right)=\sin\left(u\left(x\right)\right)=\sin\left(\ln\left(x\right)\right).
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\sin\left(\ln\left(x\right)\right) est une primitive de f sur cet intervalle.