Sens de variation d'une fonctionCours

I

Définitions

A

Fonction croissante

Croissance

Soient I un intervalle, et f une fonction définie sur cet intervalle.

On dit que f est croissante sur I si et seulement si :

pour tous réels a et b de I tels que a<b, alors f\left(a\right)\leqslant f\left(b\right).

-

La fonction représentée ci-dessus est croissante.

Autrement dit, une fonction est croissante si et seulement si l'ordre des images est toujours le même que celui des antécédents.

Si l'inégalité est stricte, on parle de fonction strictement croissante.

Croissance stricte

f est strictement croissante sur I si et seulement si : pour tous réels a et b de I tels que a<b, alors  f\left(a\right) \lt f\left(b\right).

Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante
Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante

La fonction ci-dessus est strictement croissante : elle n'a pas de palier où elle est constante. 

Lorsqu'on dit qu'une fonction est strictement croissante, on dit qu'elle est croissante et que si a et b sont différents, les images doivent être différentes elles aussi.

B

Fonction décroissante

Décroissance

Soient I un intervalle, et f une fonction définie sur cet intervalle.

On dit que f est décroissante sur I si et seulement si :

pour tous réels a et b de I tels que a<b, alors  f\left(a\right) \geqslant f\left(b\right).

Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante
Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante

Cela revient à dire que l'ordre des images est toujours inversé par rapport à celui des nombres de départ.

Comme pour la croissance, une fonction peut être strictement décroissante.

Décroissance stricte

f est strictement décroissante sur I si et seulement si :

pour tous réels a et b de I tels que a<b, alors   f\left(a\right) \gt f\left(b\right).

C

Fonction constante

Constance

Soient I un intervalle, et f une fonction définie sur cet intervalle.

On dit que f est constante sur I si et seulement si :

pour tous réels a et b de I tels que a<b, alors   f\left(a\right) = f\left(b\right).

Allure de la courbe représentative d'une fonction constante
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante

Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante.

D

Monotonie

Monotonie

Une fonction qui est croissante ou décroissante sur un intervalle I est dite monotone sur cet intervalle.

Une fonction monotone sur un intervalle ne change pas de sens de variation sur l'intervalle considéré.

Quand on demande « d'étudier la monotonie » d'une fonction, on demande de déterminer si elle est croissante, décroissante, constante, ou aucun des trois.

Les conditions demandées, par exemple « si x<y, alors   f\left(x\right) \leqslant f\left(y\right) » doivent être vraies pour n'importe quels nombres x et y de l'intervalle I, et pas seulement pour des cas particuliers.

En particulier, il ne suffit pas que ce soit vrai pour les bornes de l'intervalle.

Pour la fonction f représentée ci-dessous, on a \textcolor{Green}{a} \lt \textcolor{Purple}{b}, et \textcolor{Green}{f\left(a\right)} \lt \textcolor{Purple}{f\left(b\right)}.

Mais sur le même intervalle, on a aussi \textcolor{Green}{a} \lt c : et f\left(c\right) \lt \textcolor{Green}{f\left(a\right)}.

Pour a et c, l'ordre des images est inversé.

L'ordre des images n'est donc pas le même que celui des antécédents pour tous les nombres de l'intervalle \left[a;b\right].

La fonction n'est donc pas croissante sur l'intervalle \left[a;b\right], même si la relation est vraie pour les bornes  a et b.

-
II

Maximum et minimum d'une fonction

A

Maximum

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus grande valeur de la fonction f sur I, si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1.

-

Si une fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

f\left(x\right)\leqslant f\left(a\right)

B

Minimum

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus petite valeur de la fonction f sur I, si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle  [0 ; 2]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour  x=0,75.

-

Si une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

f\left(x\right)\geqslant f\left(a\right)

Attention à ne pas confondre la valeur effective du minimum ou du maximum avec la valeur de l'antécédent x  réalisant ce minimum ou maximum.

Extremum

Un maximum ou minimum peut aussi être appelé « extremum ».

Le mot extremum permet de désigner un maximum ou un minimum sans préciser si c'est un maximum ou un minimum.

Dire que 0,5 est un extremum de la fonction f sur un intervalle I veut dire que 0,5 est un maximum ou un minimum de la fonction f sur cet intervalle (mais on ne précise pas lequel des deux).

III

Tableau de variations

On peut résumer les variations d'une fonction à l'aide d'un tableau de variations.

  • Sur la ligne du haut, on représente le domaine de définition.
  • Sur la ligne du bas, on indique les variations par des flèches, qui montent quand la fonction est croissante et descendent quand la fonction est décroissante.
  • On indique par une double barre les valeurs interdites.
  • On note les valeurs remarquables de la fonction : les bornes de l'ensemble de définition, les minimums et les maximums locaux.

On a dressé ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f.

-

Ce tableau de variation indique que :

  • f est décroissante sur [−3 ; −1,5] ;
  • f est croissante sur [−1,5 ; 2[ ;
  • f est décroissante sur ]2 ; +\infty[ ;
  • f(−3)=5 ;
  • f(−1,5)=0 et 0 est un minimum local de la fonction ;
  • 2 est une valeur interdite.

Il nous donne une idée de l'allure de la courbe.

Ce tableau pourrait par exemple correspondre à la courbe suivante :

-