Sens de variation d'une fonction Cours

Sommaire

IDéfinitionsAFonction croissanteBFonction décroissanteCFonction constanteDMonotonieIIMaximum et minimum d'une fonctionAMaximumBMinimumIIITableau de variations
I

Définitions

A

Fonction croissante

Croissance

Soient I un intervalle, et \(

Autrement dit, une fonction est croissante si et seulement si l'ordre des images est toujours le même que celui des antécédents.

-

Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante

Si l'inégalité est stricte, on parle de fonction strictement croissante.

Croissance stricte

\(

C'est-à-dire que, si a et b sont différents, les images doivent être différentes elles aussi.

-

La fonction représentée ci-dessus est croissante, mais pas strictement croissante, car dans la partie horizontale de la courbe, les images sont égales.

B

Fonction décroissante

Décroissance

Soient I un intervalle, et \(

Cela revient à dire que l'ordre des images est toujours inversé par rapport à celui des nombres de départ.

-

Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante

Comme pour la croissance, une fonction peut être strictement décroissante :

Décroissance stricte

\(

C

Fonction constante

Constance

Soient I un intervalle, et \(

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante

Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante.

D

Monotonie

Monotonie

Une fonction qui est croissante ou décroissante sur un intervalle I est dite monotone sur cet intervalle.

Une fonction monotone sur un intervalle ne change pas de sens de variation sur l'intervalle considéré.

-

Exemple de courbe représentative d'une fonction qui n'est pas monotone.

Quand on demande « d'étudier la monotonie » d'une fonction, on demande de déterminer si elle est croissante, décroissante, constante, ou aucun des trois.

Les conditions demandées, par exemple « si x<y, alors   f\left(x\right) \leqslant f\left(y\right) » doivent être vraies pour n'importe quels nombres x et y de l'intervalle I, et pas seulement pour des cas particuliers.

En particulier, il ne suffit pas que ce soit vrai pour les bornes de l'intervalle.

Pour la fonction \(

-

Vous trouverez dans les méthodes du chapitre comment, en pratique, on étudie les variations d'une fonction.

II

Maximum et minimum d'une fonction

A

Maximum

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus grande valeur de la fonction f sur I, si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1.

-

Si une fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

f\left(x\right)\leqslant f\left(a\right)

B

Minimum

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus petite valeur de la fonction f sur I, si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle  [0 ; 2]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour  x=0,75.

-

Si une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

f\left(x\right)\geqslant f\left(a\right)

Attention à ne pas confondre la valeur effective du minimum ou du maximum avec la valeur de l'antécédent x  réalisant ce minimum ou maximum.

Extremum

Un maximum ou minimum peut aussi être appelé « extremum ».

Le mot extremum permet de désigner un maximum ou un minimum sans préciser si c'est un maximum ou un minimum.

Dire que 0,5 est un extremum de la fonction \(

III

Tableau de variations

On peut résumer les variations d'une fonction à l'aide d'un tableau de variations.

  • Sur la ligne du haut, on représente le domaine de définition.
  • Sur la ligne du bas, on indique les variations par des flèches, qui montent quand la fonction est croissante et descendent quand la fonction est décroissante.
  • On indique par une double barre les valeurs interdites.
  • On note les valeurs remarquables de la fonction : les bornes de l'ensemble de définition, les minimums et les maximums locaux.

On a dressé ci-dessous le tableau de variations d'une fonction \(

-

Ce tableau de variation indique que :

  • f est décroissante sur [−3 ; −1,5] ;
  • f est croissante sur [−1,5 ; 2 ;[
  • f est décroissante sur ]2 ; +∞[ ;
-