Soit X, une variable aléatoire suivant la loi binomiale B\left(400 ; 0{,}42\right).
Quelles sont les valeurs de E\left(X\right), V\left(X\right) et \sigma \left(X\right) ?
X suit une loi binomiale de paramètres n = 400 et p = 0{,}42, donc d'après le cours :
- E\left(X\right) = np = 400 \times 0{,}42 = 168
- V\left(X\right) = np\left(1-p\right) = 400 \times 0{,}42\times \left(1-0{,}42\right)= 97{,}44
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)} = \sqrt{97{,}44} \approx 9{,}87
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une valeur approchée de p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) ?
On sait que, si X suit une loi binomiale :
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right)=p\left(X=160\right)+p\left(X=161\right) + ... + p\left(X=180\right)=p\left( X \leq 180 \right)-p\left( X \leq 159 \right)
On obtient donc, à l'aide de la calculatrice :
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) \approx 0{,}702
Quelle proposition justifie correctement que l'on peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace pour cette loi ?
Les trois conditions à vérifier pour utiliser le théorème de Moivre-Laplace sont n \geq 30, np \geq 5 et n\left(1-p\right) \geq 5.
Ici on a :
- n = 400 donc n \geq 30
- np = 168 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) =232 donc n\left(1-p\right) \geq 5
Les conditions sont vérifiées pour appliquer le théorème de Moivre-Laplace.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une valeur approchée de p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) ?
X suit une loi binomiale B\left(400 ; 0{,}42\right).
On peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace :
Pour tout réel a et b, a \lt b, on a :
p\left( a \lt \dfrac{X -E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \lt b\right) \approx p\left( a \leq Z \leq b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.
On utilise ce théorème pour approximer p\left( 160 \leq X \leq 180 \right).
On sait que :
- E\left(X\right)=168
- \sigma\left(X\right) \approx 9{,}87
On a :
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) = p\left( \dfrac{160-168}{9{,}87} \leq \dfrac{X-168}{9{,}87} \leq \dfrac{180-168}{9{,}87} \right)
C'est-à-dire :
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) = p\left( \dfrac{160-168}{9{,}87} \leq \dfrac{X-E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \leq \dfrac{180-168}{9{,}87} \right)
Ainsi, si Z suit la loi normale centrée réduite, d'après le théorème de Moivre-Laplace :
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) \approx p\left( \dfrac{160-168}{9{,}87} \leq Z\leq \dfrac{180-168}{9{,}87} \right)
p\left( 160 \leq X \leq 180 \right) \approx p\left( -0{,}81\leq Z \leq 1{,}22 \right)
La calculatrice donne :
p\left( -0{,}81 \leq Z \leq 1{,}22 \right) \approx 0{,}680
Remarque : on avait trouvé à la question 2), p\left(160 \leq X \leq 180\right) \approx 0{,}702.
A l'aide de la loi normale centrée réduite, on trouve p\left(160 \leq X \leq 180 \right)\approx0{,}680.