Soit X, une variable aléatoire suivant la loi binomiale B\left(340 ; 0{,}72\right).
Quelles sont les valeurs de E\left(X\right), V\left(X\right) et \sigma \left(X\right) ?
X suit une loi binomiale de paramètres n = 340 et p = 0{,}72, donc d'après le cours :
- E\left(X\right) = np = 340 \times 0{,}72 = 244{,}8
- V\left(X\right) = np\left(1-p\right) = 340\times 0{,}72\times \left(1-0{,}72\right)= 68{,}544
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)} = \sqrt{68, 544} = 8{,}279
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une valeur approchée de p\left( 245 \leq X \leq 255 \right) ?
On sait que, si X suit une loi binomiale :
p\left( 245 \leq X \leq 255 \right)=p\left(X=245\right)+p\left(X=246\right) + ... + p\left(X=255\right)=p\left( X \leq 255 \right)-p\left( X \leq 244 \right)
La calculatrice donne :
p\left( 245 \leq X \leq 255 \right) \approx 0{,}421
Quelle proposition justifie correctement que l'on peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace pour cette loi ?
Les trois conditions à vérifier pour utiliser le théorème de Moivre-Laplace sont n \geq 30, np \geq 5 et n\left(1-p\right) \geq 5.
Ici on a :
- n = 340 donc n \geq 30
- np = 244{,}8 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) =95{,}2 donc n\left(1-p\right) \geq 5
Les conditions sont vérifiées pour appliquer le théorème de Moivre-Laplace.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une valeur approchée de p\left( 245 \leq X \leq 255 \right) ?
X suit une loi binomiale B\left(340; 0{,}72\right).
On peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace :
Pour tout réel a et b, a \lt b, on a :
p\left( a \lt \dfrac{X -E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \lt b\right) \approx p\left( a \leq Z \leq b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.
On utilise ce théorème pour approximer p\left( 245 \leq X \leq 255\right).
On sait que :
- E\left(X\right)=244{,}8
- \sigma\left(X\right) \approx 8{,}279
On a :
p\left( 245 \leq X \leq 255\right) = p\left( \dfrac{245-244{,}8}{8{,}279} \leq \dfrac{X-244{,}8}{8{,}279} \leq \dfrac{255-244{,}8}{8{,}279} \right)
C'est-à-dire :
p\left( 245 \leq X \leq 255\right) = p\left( \dfrac{245-244{,}8}{8{,}279}\leq\dfrac{X-E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \leq \dfrac{255-244{,}8}{8{,}279} \right)
Ainsi, si Z suit la loi normale centrée réduite, d'après le théorème de Moivre-Laplace :
p\left( 245 \leq X \leq 255\right) \approx p\left( \dfrac{245-244{,}8}{8{,}279}\leq Z \leq \dfrac{255-244{,}8}{8{,}279} \right)
p\left( 245 \leq X \leq 255 \right) \approx p\left( 0{,}024 \leq Z \leq 1{,}1232 \right)
La calculatrice donne :
p\left( 0{,}024 \leq Z \leq 1{,}232\right) \approx 0{,}381
Remarque : on avait trouvé à la question 2), p\left(245\leq X \leq 255\right) \approx 0{,}421.
A l'aide de la loi normale centrée réduite, on trouve p\left(245 \leq X \leq 255\right) \approx 0{,}381.