Soit X, une variable aléatoire suivant la loi binomiale B\left(671 ; 0{,}18\right).
Quelles sont les valeurs de E\left(X\right), V\left(X\right) et \sigma \left(X\right) ?
X suit une loi binomiale de paramètres n = 671 et p = 0{,}18, donc d'après le cours :
- E\left(X\right) = np = 671 \times 0{,}18= 120{,}78
- V\left(X\right) = np\left(1-p\right) = 671\times 0{,}18\times \left(1-0{,}18\right)= 99{,}0396
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)} = \sqrt{99{,}0396} \approx 9{,}952
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une valeur approchée de p\left( 110\leq X \leq 120\right) ?
On sait que, si X suit une loi binomiale :
p\left( 110 \leq X \leq 120 \right)=p\left(X=110\right)+p\left(X=111\right) + ... + p\left(X=120\right)=p\left( X \leq 120 \right)-p\left( X \leq 109 \right)
On obtient donc, à l'aide de la calculatrice :
p\left( 110 \leq X \leq 120 \right) \approx 0{,}365
Quelle proposition justifie correctement que l'on peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace pour cette loi ?
Les trois conditions à vérifier pour utiliser le théorème de Moivre-Laplace sont n \geq 30, np \geq 5 et n\left(1-p\right) \geq 5.
Ici on a :
- n = 671 donc n \geq 30
- np = 120{,}78 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) =550{,}22 donc n\left(1-p\right) \geq 5
Les conditions sont vérifiées pour appliquer le théorème de Moivre-Laplace.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une valeur approchée de p\left( 110\leq X \leq 120\right) ?
X suit une loi binomiale B\left(671; 0{,}18\right).
On peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace :
Pour tout réel a et b, a \lt b, on a :
p\left( a \lt \dfrac{X -E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \lt b\right) \approx p\left( a \leq Z \leq b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.
On utilise ce théorème pour approximer p\left( 110\leq X \leq 120\right).
On sait que :
- E\left(X\right)=120{,}78
- \sigma\left(X\right) \approx 9{,}952
On a :
p\left( 110\leq X \leq 120\right) = p\left( \dfrac{110-120{,}78}{9{,}952} \leq \dfrac{X-120{,}78}{9{,}952} \leq \dfrac{120-120{,}78}{9{,}952} \right)
C'est-à-dire :
p\left( 110\leq X \leq 120\right) = p\left( \dfrac{110-120{,}78}{9{,}952} \leq \dfrac{X-E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \leq \dfrac{120-120{,}78}{9{,}952} \right)
Ainsi, si Z suit la loi normale centrée réduite, d'après le théorème de Moivre-Laplace :
p\left( 110\leq X \leq 120\right) \approx p\left( \dfrac{110-120{,}78}{9{,}952} \leq Z\leq \dfrac{120-120{,}78}{9{,}952} \right)
p\left( 110\leq X \leq 120\right) \approx p\left( -1{,}083 \leq Z \leq -0{,}078\right)
La calculatrice donne :
p\left( -1{,}083 \leq Z \leq -0{,}078\right) \approx 0{,}330
Remarque : on avait trouvé à la question 2), p\left(110\leq X \leq 120\right) \approx 0{,}365.
A l'aide de la loi normale centrée réduite, on trouve p\left(110\leq X \leq 120\right) \approx 0{,}330.