Calculer des probabilités en introduisant une loi binomiale Exercice

L'expérience "lancer un pièce de monnaie" a deux issues possibles :

• Succès : on obtient pile, obtenu avec la probabilité p=\dfrac{1}{2}
• Echec : on n'obtient pas pile, obtenu avec la probabilité q=1-p=\dfrac{1}{2}

Cette expérience est répétée 8 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

On cherche à calculer p\left( X=4\right).

Or X suit la loi binomiale B\left(8;\dfrac{1}{2}\right), donc on a :

p\left( X=4\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 4 \end{pmatrix}p^4q^{8-4}

p\left( X=4\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 4 \end{pmatrix}p^4q^{4}

Et, comme \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 4 \end{pmatrix}=70, on a finalement :

p\left( X=4\right)=70\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=70\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^8

On cherche à calculer p\left( X\leqslant1\right).

Or p\left( X\leqslant1\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=1\right)

• On calcule p\left(X=0\right)

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{8-0}

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{8}

Et, comme \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left( \dfrac{1}{2} \right)^0=1, on a finalement :

p\left( X=0\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}

• On calcule p\left(X=1\right)

p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^1q^{8-1}

p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^1q^{7}

Et, comme \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 1 \end{pmatrix}=8, on a finalement :

p\left( X=1\right)=8\times\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7}=8\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}

• On obtient donc :

p\left( X\leqslant1\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}+8\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}=9\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}