Dans un pays, la probabilité d'avoir un garçon est la même que celle d'avoir une fille. On admet que les sexes de deux enfants nés à la suite sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre de garçons d'une famille de trois enfants.
Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ?
L'expérience "avoir un enfant" a deux issues possibles :
- Succès : on obtient un garçon, obtenu avec la probabilité p=\dfrac{1}{2}
- Echec : on n'obtient pas de graçon, obtenu avec la probabilité q=1-p=\dfrac{1}{2}
Cette expérience est répétée 3 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X est donc une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\dfrac{1}{2}.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 garçons exactement sur les 3 enfants de la famille ?
On cherche à calculer p\left( X=2\right).
Or X suit la loi binomiale B\left(3;\dfrac{1}{2}\right), donc on a :
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^2q^{3-2}
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^2q^{1}
Et, comme \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=3, on a finalement :
p\left( X=2\right)=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)
p\left( X=2\right)=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3
La probabilité d'obtenir exactement 2 garçons vaut p\left( X=2\right)=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un garçon dans la famille ?
On cherche à calculer p\left( X\geqslant1\right).
Or p\left( X\geqslant1\right)=1-p\left( X=0\right)
On calcule donc :
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{3-0}
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}
Et, comme \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left( \dfrac{1}{2} \right)^0=1, on a finalement :
p\left( X=0\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}
On obtient donc :
p\left( X\geqslant1\right)=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}
La probabilité d'obtenir au moins un garçon dans la famille vaut p\left( X\geqslant1\right)=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}.