Calculer des probabilités en introduisant une loi binomiale Exercice

L'expérience "tirer une boule" a deux issues possibles :

• Succès : on tire une boule blanche, obtenu avec la probabilité p=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
• Echec : on ne tire pas une blanche, obtenu avec la probabilité q=1-p=\dfrac{3}{4}

Cette expérience est répétée 10 fois de manière indépendante (les tirages sont effectués avec remise).

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

On cherche à calculer p\left( X=3\right).

Or X suit la loi binomiale B\left(10;\dfrac{1}{4}\right), donc on a :

p\left( X=3\right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 3 \end{pmatrix}p^3q^{10-3}

p\left( X=3\right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 3 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\left(\dfrac{3}{4}\right)^7

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 3 \end{pmatrix}=120, on a finalement :

p\left( X=3\right)=120\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\left(\dfrac{3}{4}\right)^7

On cherche à calculer p\left( X\geqslant1\right).

Or p\left( X\geqslant1\right)=1-p\left( X=0\right)

On calcule donc :

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{10-0}

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{4}\right)^0\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10}

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left( \dfrac{1}{4} \right)^0=1, on a finalement :

p\left( X=0\right)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10}

On obtient donc :

p\left( X\geqslant1\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10}